Um planeta possui uma órbita circular ao redor de uma estrela de massa
. A estrela ejeta sua camada externa com uma velocidade muito maior que o movimento orbital do planeta, de modo que a perda de massa pode ser considerada instantânea. O remanescente da estrela tem uma massa
, que é muito maior que a massa do planeta. Qual é a excentricidade da órbita do planeta após a explosão? (Despreze a força hidrodinâmica exercida sobre o planeta pela casca de expansão. Lembre-se de que a excentricidade é dada em termos da energia
e do momento angular
por
onde
é a massa do planeta e onde a magnitude da força gravitacional entre a estrela e o planeta é
).
Passo 1
O enunciado trata de um planeta de massa
que descrevia órbita circular de raio
em torno de uma estrela de massa
. De forma instantânea a estrela perde massa e fica com
. Como a velocidade e a posição do planeta não mudam no instante da explosão, queremos achar a nova excentricidade
da órbita de acordo com
Aqui o conteúdo é mecânica orbital (energia, momento angular e excentricidade em campo central) e usaremos que a força gravitacional pós-explosão é
com
.
Passo 2
Antes da explosão a órbita era circular, logo a velocidade orbital valia
Após a explosão, mantém-se
e a distância
, mas muda o parâmetro gravitacional para
. A energia total passa a ser
e o momento angular é
Passo 3
Substituímos na fórmula da excentricidade. Note que
. Então
Passo 4
Fazendo as cancelamentos e usando
com
, obtemos
Passo 5
Daí segue