Um planeta possui uma órbita circular ao redor de uma estrela de massa M. A estrela ejeta sua camada externa com uma velocidade muito maior que o movimento orbital do planeta, de modo que a perda de massa pode ser considerada instantânea. O remanescente da estrela tem uma massa M^{\prime}, que é muito maior que a massa do planeta. Qual é a excentricidade da órbita do planeta após a explosão? (Despreze a força hidrodinâmica exercida sobre o planeta pela casca de expansão. Lembre-se de que a excentricidade é dada em termos da energia E e do momento angular l por
\epsilon^{2}=1+\frac{2 E l^{2}}{M_{p} k^{2}}
onde M_{p} é a massa do planeta e onde a magnitude da força gravitacional entre a estrela e o planeta é \frac{k}{r_{0}^{2}} ).

Passo 1

O enunciado trata de um planeta de massa M_{p} que descrevia órbita circular de raio r_{0} em torno de uma estrela de massa M. De forma instantânea a estrela perde massa e fica com M'. Como a velocidade e a posição do planeta não mudam no instante da explosão, queremos achar a nova excentricidade \epsilon da órbita de acordo com
\epsilon^{2} \;=\;1+\frac{2\,E\,l^{2}}{M_{p}\,k^{2}}
Aqui o conteúdo é mecânica orbital (energia, momento angular e excentricidade em campo central) e usaremos que a força gravitacional pós-explosão é \displaystyle F=\frac{k}{r^{2}} com k=G\,M'\,M_{p}.

Passo 2

Antes da explosão a órbita era circular, logo a velocidade orbital valia
v_{0}=\sqrt{\frac{G\,M}{r_{0}}}\,.
Após a explosão, mantém-se v_{0} e a distância r_{0}, mas muda o parâmetro gravitacional para \mu'=G\,M'. A energia total passa a ser
E=\tfrac12\,M_{p}\,v_{0}^{2}-\frac{G\,M'\,M_{p}}{r_{0}}
e o momento angular é
l=M_{p}\,r_{0}\,v_{0}\,.

Passo 3

Substituímos na fórmula da excentricidade. Note que k=G\,M'\,M_{p}=\mu'\,M_{p}. Então
\epsilon^{2} =1+\frac{2\,E\,l^{2}}{M_{p}\,k^{2}} =1+\frac{2\bigl(\tfrac12 M_{p}v_{0}^{2}-\mu'\tfrac{M_{p}}{r_{0}}\bigr)\,(M_{p}^{2}r_{0}^{2}v_{0}^{2})} {M_{p}\,(\mu'^{2}M_{p}^{2})}\,.

Passo 4

Fazendo as cancelamentos e usando v_{0}^{2}=\mu/r_{0} com \mu=G\,M, obtemos
\epsilon^{2} =1+\frac{2v_{0}^{2}r_{0}^{2}}{\mu'^2}\Bigl(\frac{v_{0}^{2}}{2}-\frac{\mu'}{r_{0}}\Bigr) =1+\frac{\mu^{2}}{\mu'^{2}}-2\,\frac{\mu}{\mu'} =\Bigl(\frac{\mu}{\mu'}-1\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{M}{M'}-1\Bigr)^{2}.

Passo 5

Daí segue
\epsilon=\Bigl|\frac{M}{M'}-1\Bigr|=\frac{M-M'}{M'}.

Resposta

\epsilon=\frac{M-M'}{M'}.

Exercícios relacionados