determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
$\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-4 \frac{d y}{d t}-5 y=0, y(1)=0, y^{\prime}(1)=2$
$\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-4 \frac{d y}{d t}-5 y=0, y(1)=0, y^{\prime}(1)=2$
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial homogênea de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica substituindo
:
Passo 3
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara, temos
logo
e
.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
Passo 5
Calculamos a derivada primeira:
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais em
:
Passo 7
Da primeira equação vem
Substituindo em
:
Então
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral: