determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
$\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-4 \frac{d y}{d t}-5 y=0, y(1)=0, y^{\prime}(1)=2$

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial homogênea de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} - 4\frac{dy}{dt} - 5y = 0
com as condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=2. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo y\sim e^{rt}:
r^{2} - 4r - 5 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^{2} - 4r - 5 = 0
pela fórmula de Bhaskara, temos
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2},
logo r_{1}=5 e r_{2}=-1.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C_{1}e^{5t} + C_{2}e^{-t}.

Passo 5

Calculamos a derivada primeira:
y'(t) = 5C_{1}e^{5t} \;-\; C_{2}e^{-t}.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em t=1:
y(1) = C_{1}e^{5} + C_{2}e^{-1} = 0,
y'(1) = 5C_{1}e^{5} \;-\; C_{2}e^{-1} = 2.

Passo 7

Da primeira equação vem
C_{2}e^{-1} = -\,C_{1}e^{5} \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = -\,C_{1}e^{6}.
Substituindo em y'(1)=2:
5C_{1}e^{5} - \bigl(-C_{1}e^{6}\bigr)e^{-1} = 2 \;\Longrightarrow\; 5C_{1}e^{5} + C_{1}e^{5} = 2 \;\Longrightarrow\; 6C_{1}e^{5} = 2 \;\Longrightarrow\; C_{1} = \frac{1}{3e^{5}}.
Então
C_{2} = -\frac{1}{3e^{5}}\;e^{6} = -\frac{e}{3}.

Passo 8

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral:
y(t) = \frac{1}{3e^{5}}\,e^{5t} \;-\;\frac{e}{3}\,e^{-t} = \frac{1}{3}\bigl(e^{5(t-1)} - e^{-(t-1)}\bigr).

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}\bigl(e^{5(t-1)} - e^{-(t-1)}\bigr).

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