determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
$y^{\prime "}+y=0, y^{\prime}(0)=0, y(\pi)=1$

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 0.
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que consiste em supor uma solução y(x)=e^{r x} e obter a equação para r.

Passo 2

Formando o polinômio característico, substituímos y(x)=e^{r x} na equação:
r^2 e^{r x} + e^{r x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r^2 +1)e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq0, vem
r^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm i.

Passo 3

Com raízes complexas r=\pm i, a solução geral é
y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Calculamos a derivada para usar y'(0)=0:
y'(x) = -C_1 \sin x + C_2 \cos x.
Em x=0 isso dá
y'(0) = -C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1 = C_2 = 0
Logo, C_2 = 0, e a solução passa a ser
y(x) = C_1 \cos x.

Passo 5

Usamos agora a condição y(\pi)=1:
y(\pi) = C_1 \cos(\pi) = C_1 \,(-1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -1.

Resposta

y(x) = -\cos x.

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