determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
$y^{\prime "}+y=0, y^{\prime}(0)=0, y(\pi)=1$
$y^{\prime "}+y=0, y^{\prime}(0)=0, y(\pi)=1$
Passo 1
Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que consiste em supor uma solução
e obter a equação para
.
Passo 2
Formando o polinômio característico, substituímos
na equação:
Como
, vem
Passo 3
Com raízes complexas
, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 4
Calculamos a derivada para usar
:
Em
isso dá
Logo,
, e a solução passa a ser
Passo 5
Usamos agora a condição
: