Nos problemas a seguir, resolva as EDO’s de Cauchy-Euler para encontrar as soluções homogêneas. Para as EDO’s não homogêneas, use variação de parâmetros para obter uma solução particular.
x^{2} y^{\prime \prime \prime}-3 x y^{\prime}+3 y=2 x^{4} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{2}y''' - 3x\,y' + 3y = 2x^{4}e^{x}
como se fosse uma equação de Cauchy–Euler, ou seja, tentar achar primeiro a solução homogênea usando o chute y=x^{r}, e depois, para a não homogênea, aplicar variação de parâmetros.

Passo 2

Supondo y=x^{r}, temos
y' = r\,x^{r-1},\quad y'' = r(r-1)x^{r-2},\quad y''' = r(r-1)(r-2)x^{r-3}.
Substituindo em cada termo da parte homogênea:
x^{2}y''' = r(r-1)(r-2)\,x^{r-1},\quad -3x\,y' = -3r\,x^{r-1},\quad 3y = 3\,x^{r}.
Para combinar os dois primeiros termos podemos fatorar x^{r-1}, mas o último é 3\,x^{r}=3x\cdot x^{r-1}. Isso leva a
x^{r-1}\bigl[r(r-1)(r-2)-3r +3x\bigr]=0,
onde aparece um termo dependente de x.

Passo 3

Como o polinômio em r ficaria misturado com o fator 3x, não conseguimos obter uma equação característica independente de x. Isso mostra que a equação dada não é de fato uma Cauchy–Euler padrão, pois os graus em x dos termos não coincidem de forma a produzir apenas uma condição em r.

Resposta

Não é possível aplicar o método de Cauchy–Euler para encontrar a solução homogênea, pois a equação não gera uma equação característica em r independente de x. Portanto, não há uma solução homogênea tipo x^{r} nem sequência natural para a variação de parâmetros nesta forma dada.

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