Nos problemas a seguir, resolva as EDO’s de Cauchy-Euler para encontrar as soluções homogêneas. Para as EDO’s não homogêneas, use variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
como se fosse uma equação de Cauchy–Euler, ou seja, tentar achar primeiro a solução homogênea usando o chute
, e depois, para a não homogênea, aplicar variação de parâmetros.
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo em cada termo da parte homogênea:
Para combinar os dois primeiros termos podemos fatorar
, mas o último é
. Isso leva a
onde aparece um termo dependente de
.
Passo 3
Como o polinômio em
ficaria misturado com o fator
, não conseguimos obter uma equação característica independente de
. Isso mostra que a equação dada não é de fato uma Cauchy–Euler padrão, pois os graus em
dos termos não coincidem de forma a produzir apenas uma condição em
.
Resposta
Não é possível aplicar o método de Cauchy–Euler para encontrar a solução homogênea, pois a equação não gera uma equação característica em
independente de
. Portanto, não há uma solução homogênea tipo
nem sequência natural para a variação de parâmetros nesta forma dada.