Resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x=e^{t}.
x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+10 x \frac{d y}{d x}+8 y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^{2}\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+10\,x\,\frac{dy}{dx}+8\,y = x^{2}
fazendo a substituição x=e^{t}. Vamos usar que essa substituição transforma uma equação de Euler–Cauchy numa equação com coeficientes constantes em t.

Passo 2

Definimos y(x)=Y(t) com t=\ln x. Então
\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dt}\,\frac{dt}{dx} = \frac{Y'}{x},
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{Y'}{x}\Bigr) = \frac{1}{x}\,\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{Y'}{x}\Bigr) = \frac{1}{x}\Bigl(\frac{Y''}{x}-\frac{Y'}{x}\Bigr) = \frac{Y''-Y'}{x^{2}},
onde prime ' indica derivada em relação a t.

Passo 3

Substituindo em
x^{2}y''+10\,x\,y'+8\,y = x^{2}
obtemos
x^{2}\,\frac{Y''-Y'}{x^{2}} +10\,x\;\frac{Y'}{x} +8\,Y = x^{2},
isto é
Y''-Y' +10\,Y' +8\,Y = e^{2t},
pois x^{2}=e^{2t}. Simplificando,
Y'' +9\,Y' +8\,Y = e^{2t}.

Passo 4

Resolvemos primeiro a homogênea
Y''+9Y'+8Y=0
com a equação característica
r^{2}+9r+8=0 \quad\Longrightarrow\quad (r+1)(r+8)=0
logo r=-1 ou r=-8. Assim
Y_{h}(t) = C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-8t}.
Para uma particular, tentamos Y_{p}=A\,e^{2t}. Então
Y_{p}''+9Y_{p}'+8Y_{p} =\bigl(4A+18A+8A\bigr)e^{2t} =30A\,e^{2t} \stackrel!=e^{2t}
de onde 30A=1 e A=\tfrac{1}{30}.

Passo 5

A solução geral em t é
Y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-8t}+\frac{1}{30}e^{2t}.
Voltando a x=e^{t}, temos e^{-t}=1/x, e^{-8t}=1/x^{8} e e^{2t}=x^{2}. Logo
y(x)=\frac{C_{1}}{x}+\frac{C_{2}}{x^{8}}+\frac{x^{2}}{30}.

Resposta

y(x)=\frac{C_{1}}{x}+\frac{C_{2}}{x^{8}}+\frac{x^{2}}{30}.

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