Resolva a equação diferencial dada.
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-4 y=0

Passo 1

Este é um caso de equação de Euler–Cauchy de segunda ordem, pois tem a forma
x^{2}y'' + 3x\,y' - 4y = 0.
O método padrão para essas equações é buscar uma solução do tipo
y = x^{m}.

Passo 2

Supondo y = x^{m}, calculamos as derivadas:
y' = m\,x^{m-1}, \quad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.

Passo 3

Substituindo na equação original:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] +3x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr] -4\,x^{m} =0.
Fatorando x^{m}\neq0 gera a equação característica
m(m-1) + 3m - 4 = 0.

Passo 4

Simplificando a característica:
m^{2} - m + 3m - 4 = m^{2} + 2m - 4 = 0.
Resolvendo por fórmula de Bhaskara:
m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}.

Passo 5

Como as raízes m_{1} = -1 + \sqrt{5} e m_{2} = -1 - \sqrt{5} são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_{1}\,x^{\,m_{1}} + C_{2}\,x^{\,m_{2}},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{-1 + \sqrt{5}} \;+\; C_{2}\,x^{-1 - \sqrt{5}}.

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