Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem”
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
- É homogênea (termo independente é zero).
- Coeficientes constantes: os coeficientes de
são números (1, , ).
Pergunta explicitamente: encontrar a solução geralque satisfaça essa equação.
Passo 2
Como escolher o método (explicação didática passo a passo):
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução da forma exponencial
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução da forma exponencial
onde
é um número (constante) desconhecido. A ideia é que exponenciais têm derivadas proporcionais a si mesmas, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Aqui
representa a “taxa de crescimento/decrescimento” da solução exponencial.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e substituir na equação:
Substituindo em
e fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica
Passo 4
Resolver a equação característica (explicando cada símbolo):
A equação é uma quadrática em da forma
com
,
,
. Calcula-se o discriminante
A equação é uma quadrática em
Como
, a quadrática tem uma raiz real dupla (ou seja, duas raízes iguais). A raiz é
Passo 5
Interpretação do caso de raiz dupla (didática):
- Se a equação característica tem duas raízes reais distintas
e , a solução geral é . - Se a equação característica tem raiz dupla
(como aqui), precisamos de duas soluções linearmente independentes. Uma delas é . A segunda, para o caso de multiplicidade 2, é .
Portanto, no caso de raiz dupla, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a solução particular conforme condições iniciais).
Passo 6
Verificação rápida (mostrar que
realmente funciona):
Se , então
Se
Substituindo em
:
Fatorando
e rearranjando os coeficientes dos termos constantes e de
:
Logo
satisfaz a equação e é linearmente independente de
, confirmando a forma geral encontrada.
Passo 7
Conclusão e dica para a prova:
A solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes encontradas. Em provas, ao reconhecer uma equação com coeficientes constantes e obter discriminante zero, memorize que a segunda solução é multiplicada por . Isso economiza tempo.
A solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes encontradas. Em provas, ao reconhecer uma equação com coeficientes constantes e obter discriminante zero, memorize que a segunda solução é multiplicada por