Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem”
y'' - 10y' + 25y = 0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
  • É homogênea (termo independente é zero).
  • Coeficientes constantes: os coeficientes de y'',y',y são números (1, -10, 25).
    Pergunta explicitamente: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Como escolher o método (explicação didática passo a passo):
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução da forma exponencial
y = e^{r x},
onde r é um número (constante) desconhecido. A ideia é que exponenciais têm derivadas proporcionais a si mesmas, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Aqui r representa a “taxa de crescimento/decrescimento” da solução exponencial.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=e^{r x} e substituir na equação:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo em \;y''-10y'+25y=0\; e fatorando e^{r x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica
r^{2}-10r+25=0.

Passo 4

Resolver a equação característica (explicando cada símbolo):
A equação é uma quadrática em r da forma ar^{2}+br+c=0 com a=1, b=-10, c=25. Calcula-se o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot25 = 100-100 = 0.
Como \Delta=0, a quadrática tem uma raiz real dupla (ou seja, duas raízes iguais). A raiz é
r = \frac{-b}{2a} = \frac{10}{2} = 5.

Passo 5

Interpretação do caso de raiz dupla (didática):
  • Se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
  • Se a equação característica tem raiz dupla r (como aqui), precisamos de duas soluções linearmente independentes. Uma delas é e^{r x}. A segunda, para o caso de multiplicidade 2, é x e^{r x}.
    Portanto, no caso de raiz dupla r=5, a forma geral da solução é
y = C_{1} e^{5x} + C_{2} x e^{5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam a solução particular conforme condições iniciais).

Passo 6

Verificação rápida (mostrar que x e^{5x} realmente funciona):
Se y_2 = x e^{5x}, então
y_2' = e^{5x} + 5x e^{5x} = (1+5x)e^{5x},
y_2'' = 5 e^{5x} + 5(1+5x)e^{5x} = (5 + 5 + 25x)e^{5x} = (10 + 25x)e^{5x}.
Substituindo em y''-10y'+25y:
(10+25x)e^{5x} - 10(1+5x)e^{5x} + 25(x)e^{5x}.
Fatorando e^{5x} e rearranjando os coeficientes dos termos constantes e de x:
e^{5x}\big[(10+25x) -10(1+5x) +25x\big] = e^{5x}\big[10+25x -10 -50x +25x\big] = e^{5x}\big[0\big]=0.
Logo y_2=x e^{5x} satisfaz a equação e é linearmente independente de e^{5x}, confirmando a forma geral encontrada.

Passo 7

Conclusão e dica para a prova:
A solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes encontradas. Em provas, ao reconhecer uma equação com coeficientes constantes e obter discriminante zero, memorize que a segunda solução é multiplicada por x. Isso economiza tempo.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{5x}+C_{2}x e^{5x}

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