Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem. y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 0.
O que é pedido: determinar a solução geral y(x) dessa equação.
Informações importantes dadas:
As derivadas y' e y'' são em relação à variável independente (chamarei de x).
É uma equação linear homogênea de ordem 2 com coeficientes constantes (os números -3 e 2).
Passo 2
Estratégia que vamos usar (motivo didático): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente tentar uma solução do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número desconhecido que vamos determinar. A razão é simples: a derivada de uma exponencial é a própria exponencial vezes uma constante, então a forma da equação se transforma numa equação algébrica para r.
Passo 3
Calcular as derivadas de y(x)=e^{r x}:
y'(x)=r e^{r x}, \qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{r x} - 3\, r e^{r x} + 2\, e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter a chamada equação característica (ou auxiliar):
r^{2} - 3r + 2 = 0.
Passo 4
Resolver a equação quadrática
r^{2} - 3r + 2 = 0.
Fatorando, buscamos dois números cuja soma seja -3 e cujo produto seja 2. Esses números são -1 e -2, então
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0.
Logo as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=2.
Passo 5
Interpretação das raízes e forma geral da solução: para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, então duas soluções independentes são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} e a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções:
y(x)=C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Uma forma de verificar que essas soluções são independentes é calcular o wronskiano; para e^{x} e e^{2x} obtém-se