Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
y^prime prime-10 y^prime+25 y=0 ; y=c1 e^5 x+c2 x e^5 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 10,y' + 25,y = 0
O conteúdo envolvido é o método da equação característica, em que substituímos y=e^r x para transformar a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Fazendo a substituição y=e^r x temos
y' = r,e^r x, y'' = r^2,e^r x
Substituindo em ,y'' - 10,y' + 25,y = 0 e dividindo por e^r xneq0 resulta a equação característica
r^2 - 10,r + 25 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação quadrática:
De<a = (-10)^2 - 4cdot1cdot25 = 100 - 100 = 0
Como De<a=0, a raiz é dupla, dada por
r = 102 = 5

Passo 4

Para raiz dupla r=5 de uma EDO de segunda ordem, a teoria diz que a solução geral é
y(x) = l(c1 + c2,xr),e^5x
Desenvolvendo, obtemos
y(x) = c1,e^5x + c2,x,e^5x

Resposta

y(x) = c1,e^5x + c2,x,e^5x

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