Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem homogênea
galera, e pede para a gente encontrar a solução geral usando o que sabemos sobre equações lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Começamos montando a equação característica associada: substituímos
,
e
. Assim obtemos
Passo 3
Agora calculamos as raízes dessa equação. O discriminante é
logo temos raiz dupla
Passo 4
Quando a raiz
tem multiplicidade 2, a teoria diz que duas soluções independentes são
Como
, ficam
Portanto a solução geral é combinação linear dessas duas.
Passo 5
Juntando tudo, a solução geral da EDO é
Resposta
y=c_{1}e^{-4x}+c_{2}x e^{-4x}