Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
y^prime prime+8 y^prime+16 y=0 ; y=c1 e^-4 x+c2 x e^-4 x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem homogênea
y''+8y'+16y=0,
galera, e pede para a gente encontrar a solução geral usando o que sabemos sobre equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Começamos montando a equação característica associada: substituímos yto e^rx, y'to re^rx e y''to r^2e^rx. Assim obtemos
r^2+8r+16=0

Passo 3

Agora calculamos as raízes dessa equação. O discriminante é
De<a = 8^2 - 4cdot1cdot16 =64 -64=0,
logo temos raiz dupla
r=-82=-4

Passo 4

Quando a raiz r tem multiplicidade 2, a teoria diz que duas soluções independentes são
y1=e^rx, y2= x e^rx
Como r=-4, ficam
y1=e^-4x, y2=x e^-4x
Portanto a solução geral é combinação linear dessas duas.

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral da EDO é
y=c1e^-4x+c2x e^-4x

Resposta

y=c_{1}e^{-4x}+c_{2}x e^{-4x}

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