Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
y^prime prime-y^prime-6 y=0 ; y=c1 e^3 x+c2 e^-2 x

Passo 1

Resumindo, o enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = 0
O conteúdo envolvido é a resolução de equações diferenciais lineares homogêneas via equação característica, em que supomos y=e^rx para transformar a equação diferencial numa equação algébrica em r.

Passo 2

Substituindo a forma y=e^rx na equação diferencial, temos
y = e^rx, y' = r,e^rx, y'' = r^2,e^rx
Logo,
y'' - y' - 6y = r^2 e^rx - r e^rx - 6e^rx = 0
Como e^rxneq 0, podemos dividir por e^rx e obter a equação característica
r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Para resolver a equação característica
r^2 - r - 6 = 0
calculamos o discriminante
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-6) = 1 + 24 = 25
e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raizDe<a2 = 1 pm 52
Isso fornece as raízes reais e distintas
r1 = 3, r2 = -2

Passo 4

Como as raízes da característica são reais e distintas, a forma geral da solução é
y(x) = c1 e^r1 x + c2 e^r2 x
Substituindo r1 e r2 obtemos
y(x) = c1 e^3x + c2 e^-2x,
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = c1 e^3x + c2 e^-2x

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