Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
y^prime prime prime+3 y^prime prime-4 y^prime-12 y=0 ; y=c1 e^-2 x+ c2 e^2 x+c3 e^-3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y''' + 3y'' - 4y' - 12y = 0
O conteúdo aqui é utilizar o método dos coeficientes constantes, que consiste em propor y=e^r x e achar a equação característica associada.

Passo 2

Propondo y=e^r x, temos
y'=r e^r x, y''=r^2 e^r x, y'''=r^3 e^r x
Substituindo na equação diferencial:
r^3 e^r x + 3r^2 e^r x -4r e^r x -12 e^r x = 0
Como e^r xneq0, a equação característica fica
r^3 +3r^2 -4r -12 = 0

Passo 3

Para resolver
r^3 +3r^2 -4r -12 = 0
usamos fatoração por agrupamento. Agrupando termos:
r^2(r+3) -4(r+3) = 0
(r^2 -4),(r+3) = 0
(r-2)(r+2)(r+3) = 0
Logo as raízes são
r1 = 2, r2 = -2, r3 = -3

Passo 4

Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x + C3 e^r3 x
Substituindo r1=2, r2=-2 e r3=-3, obtemos
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + C3 e^-3x

Resposta

y(x) = C1 e^-2x + C2 e^2x + C3 e^-3x

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