Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
2 y^prime prime+2 y^prime+y=0 ; y= e^-x2[c1 cos (x2)+c2 sen(x2)]

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' + 2y' + y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos y=e^rx e obtemos a equação característica associada:
2r^2 + 2r + 1 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 2^2 - 4 cdot 2 cdot 1 = 4 - 8 = -4.

Passo 3

Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = -2 pm raiz-44 = -2 pm 2i4 = -tfrac12 pm tfraci2
Chamando alpha = -tfrac12 e beta = tfrac12, a solução geral para raízes alpha pm ibeta é
y = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)

Resposta

y = e^-x/2l(c1cos(x/2) + c2sin(x/2)r)

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