• Questão 8: Encontre uma base e a dimensão do conjunto solução dos seguintes sistemas:
    lx+2 y-2 z-t=0 x+y+z+t=0 x+2 y+3 z+2 t=0

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo em quatro incógnitas :
O conteúdo é resolução de sistema por eliminação de Gauss para encontrar o espaço nulo da matriz de coeficientes. Precisamos achar a forma paramétrica das soluções, identificar vetores geradores (base) e a dimensão do espaço solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminações:
1 & 2 & -2 & -1 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 2
Subtraindo a primeira linha das 2ª e 3ª:
2ª 2ª - 1ª dá (0,,-1,,3,,2) 3ª 3ª - 1ª dá (0,,0,,5,,3).
Agora a matriz é
1 & 2 & -2 & -1 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 5 & 3

Passo 3

Da última linha temos
5z + 3t = 0 Longrightarrow z = -tfrac35,t
Da segunda linha:
-y + 3z + 2t = 0 ;Longrightarrow; y = 3z + 2t = 3l(-tfrac35tr)+2t = tfrac15,t
Da primeira linha:
x + 2y -2z -t = 0 ;Longrightarrow; x = -2y +2z + t = -2l(tfrac15tr)+2l(-tfrac35tr)+t = -tfrac35,t

Passo 4

Escolhendo t como parâmetro livre, escrevemos a solução em forma vetorial:
(x,y,z,t) = tl(-tfrac35,;tfrac15,;-tfrac35,;1r)
Para evitar frações, podemos reescrever tomando o vetor l(-3,1,-3,5r) como gerador, pois
tl(-tfrac35,tfrac15,-tfrac35,1r) =mu,(-3,1,-3,5), mu = tfract5

Resposta

Uma base do espaço solução é
(-3,,1,,-3,,5),
e a dimensão desse espaço é 1.

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