1. (1,0 ponto) Calcule integralraiz3^raiz3 / 3 arccotg x1+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de arccotg x1+x^2 de raiz3 até raiz3/3. O conteúdo envolve cálculo de integrais e, mais especificamente, técnicas de integração como a integração por partes. Vamos usar essa técnica para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

Vamos definir:
u = arccotg x e dv = 11+x^2 dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Derivando u, temos:
du = ddx (arccotg x) dx = -11+x^2 dx
Integrando dv, obtemos:
v = integral 11+x^2 dx = arctan x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral arccotg x1+x^2 dx = arccotg x cdot arctan x - integral arctan x (-11+x^2) dx
Simplificando:
= arccotg x cdot arctan x + integral arctan x1+x^2 dx

Passo 6

Vamos resolver a integral restante integral arctan x1+x^2 dx. Para isso, fazemos uma substituição:
t = arctan x Rightarrow dt = 11+x^2 dx
Então, a integral fica:
integral t , dt = t^22 + C = (arctan x)^22 + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão inicial:
integral arccotg x1+x^2 dx = arccotg x cdot arctan x + (arctan x)^22 + C
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de raiz3 e raiz3/3.

Passo 8

Primeiro, vamos calcular os valores das funções nos limites.
Para x = raiz3:
arctan (raiz3) = pi3 e arccotg (raiz3) = pi6
Para x = raiz33:
arctan (raiz33) = pi6 e arccotg (raiz33) = pi3

Passo 9

Agora, substituímos esses valores na expressão integrada:
[ arccotg x cdot arctan x + (arctan x)^22 ]raiz3^raiz3/3
Calculando para cada limite:
Para x = raiz33:
pi3 cdot pi6 + (pi6)^22 = pi^218 + pi^272 = 5pi^272
Para x = raiz3:
pi6 cdot pi3 + (pi3)^22 = pi^218 + pi^218 = pi^29

Passo 10

Finalmente, subtraímos os valores:
5pi^272 - pi^29 = 5pi^272 - 8pi^272 = -3pi^272 = -pi^224

Resposta

O valor da integral é -dfracpi^224.

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