- (1,0 ponto) Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de
de
até
. O conteúdo envolve cálculo de integrais e, mais especificamente, técnicas de integração como a integração por partes. Vamos usar essa técnica para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. A fórmula básica é:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Derivando
, temos:
Integrando
, obtemos:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral restante
. Para isso, fazemos uma substituição:
Então, a integral fica:
Passo 7
Voltando à nossa expressão inicial:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
.
Passo 8
Primeiro, vamos calcular os valores das funções nos limites.
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, substituímos esses valores na expressão integrada:
Calculando para cada limite:
Para
:
Para
:
Passo 10
Finalmente, subtraímos os valores:
Resposta
O valor da integral é
.