Faça um esboço do gráfico dos planos dados
x+y-4=0

Passo 1

O enunciado pede o esboço do plano \displaystyle x+y-4=0 em \mathbb R^3. Para isso vamos usar a geometria elementar de planos: encontrar interceptos com os eixos e notar a direção em que o plano se estende.

Passo 2

Determine os interceptos com os eixos x e y no plano z=0.
– Para o eixo x: ponha y=0 e z=0 em \;x+y-4=0, dá
x-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=4,
logo o ponto (4,0,0).
– Para o eixo y: ponha x=0 e z=0, dá
y-4=0\quad\Longrightarrow\quad y=4,
logo o ponto (0,4,0).

Passo 3

Note que a variável z não aparece na equação do plano. Isso significa que, para cada ponto (x,y) da reta x+y=4 no plano z=0, todo valor de z também pertence ao plano. Em outras palavras, o plano é a “extrusão” vertical da reta x+y=4 no plano xy; portanto é paralelo ao eixo z.

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x, y e z em perspectiva (eixo x apontando para a direita, y para cima do papel e z saindo em direção ao observador ou para cima do papel conforme sua convenção).
  2. Marque os pontos (4,0,0) e (0,4,0) no plano xy (onde z=0).
  3. Una esses pontos com uma reta no plano xy; essa é a interseção do plano com z=0.
  4. A partir de cada ponto dessa reta, trace retas paralelas ao eixo z, formando uma “faixa” que representa todo o plano.

Resposta

O esboço do plano \,x+y-4=0 é a reta que une (4,0,0) a (0,4,0) no plano z=0, estendida indefinidamente em direção ao eixo z, ou seja, uma “faixa” vertical sobre a reta x+y=4.

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