Nos problemas a seguir, resolva as EDO’s de Cauchy-Euler para encontrar as soluções homogêneas. Para as EDO’s não homogêneas, use variação de parâmetros para obter uma solução particular.
x y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Cauchy–Euler
x\,y''-4\,y'=x^{4}
encontrando primeiro a solução homogênea e depois, usando variação de parâmetros, uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
x\,y''-4\,y'=0
e usamos o ansatz \;y=x^{m}. Então
y'=m\,x^{m-1}, \quad y''=m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo em x\,y''-4\,y'=0 vem
x\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]-4\bigl[m\,x^{m-1}\bigr] = m(m-1)\,x^{m-1}-4m\,x^{m-1} = m(m-1-4)\,x^{m-1} = m(m-5)\,x^{m-1}=0.
Logo a equação característica é
m(m-5)=0 \;\Longrightarrow\; m_{1}=0,\;m_{2}=5
e a solução homogênea é
y_{h}=C_{1}\,x^{0}+C_{2}\,x^{5} =C_{1}+C_{2}\,x^{5}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, colocamos a EDO na forma padrão
y''-\frac{4}{x}\,y'=x^{3},
isto é, dividimos tudo por x. Aqui f(x)=x^{3}.

Passo 4

As soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}=1,\quad y_{2}=x^{5}.
Calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & x^{5}\\\\ 0 & 5\,x^{4} \end{vmatrix} =5\,x^{4}.
Pelas fórmulas de variação de parâmetros,
u_{1}'=-\frac{f(x)\,y_{2}}{W} =-\frac{x^{3}\cdot x^{5}}{5\,x^{4}} =-\frac{x^{8}}{5\,x^{4}} =-\frac{x^{4}}{5},
u_{2}'=\frac{f(x)\,y_{1}}{W} =\frac{x^{3}\cdot1}{5\,x^{4}} =\frac{1}{5\,x}.

Passo 5

Integramos para achar u_{1} e u_{2}, desprezando constantes que se incorporam à homogênea:
u_{1}=\int -\frac{x^{4}}{5}\,dx =-\frac{x^{5}}{25}, \quad u_{2}=\int \frac{1}{5\,x}\,dx =\frac{1}{5}\ln\!\bigl|x\bigr|.

Passo 6

A solução particular fica
y_{p} =u_{1}\,y_{1}+u_{2}\,y_{2} =-\frac{x^{5}}{25}\cdot1 +\frac{1}{5}\ln\!\bigl|x\bigr|\;x^{5} =x^{5}\Bigl(\frac{1}{5}\ln\!\bigl|x\bigr|-\frac{1}{25}\Bigr).
O termo -\tfrac{1}{25}x^{5} integra-se à solução homogênea, então podemos tomar
y_{p}=\frac{1}{5}\,x^{5}\ln\!\bigl|x\bigr|.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_{1}+C_{2}\,x^{5}+\frac{1}{5}\,x^{5}\ln\!\bigl|x\bigr|.

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