Determine a solução geral da equação diferencial
y^prime prime prime-y^prime prime-y^prime+y=2 e^-t+3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de terceira ordem
y''' - y'' - y' + y = 2e^-t + 3
Conteúdo: EDO linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea via equação característica e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea é
r^3 - r^2 - r + 1 = 0
Agrupando termos: r^2(r-1) -1(r-1)=0, ou seja
(r-1)(r^2-1)=0 Longrightarrow (r-1)^2(r+1)=0
As raízes são r=1 (multiplicidade 2) e r=-1 (multiplicidade 1). Logo a solução homogênea é
yh(t) = (C1 + C2,t)e^t + C3 e^-t

Passo 3

Para o termo constante 3 propomos yp2=B. Substituindo em
y'''-y''-y'+y,
como todas as derivadas de B são zero, sobra B. Logo
B = 3
Para o termo 2e^-t, vimos que e^-t corresponde à raiz r=-1 (simplicidade 1), então multiplicamos por t e tomamos
yp1 = A,t e^-t

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp1:
yp1' = A e^-t(1 - t), yp1'' = A e^-t(t - 2), yp1''' = A e^-t(3 - t)
Substituindo em y'''-y''-y'+y obtemos
A e^-tl[(3 - t)-(t - 2)-(1 - t)+tr] =4A e^-t,
que deve igualar 2e^-t. Logo
4A = 2 Longrightarrow A = tfrac12

Passo 5

A solução particular é
yp(t) = yp1 + yp2 = tfrac12,t e^-t + 3
Portanto a solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t)e^t + C3 e^-t + tfrac12,t e^-t + 3

Resposta

boxedy(t) = (C1 + C2 t)e^t + C3 e^-t + tfrac12,t e^-t + 3

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