Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de terceira ordem
Conteúdo: EDO linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea via equação característica e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea é
Agrupando termos:
, ou seja
As raízes são
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 1). Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para o termo constante
propomos
. Substituindo em
como todas as derivadas de
são zero, sobra
. Logo
Para o termo
, vimos que
corresponde à raiz
(simplicidade 1), então multiplicamos por
e tomamos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
que deve igualar
. Logo
Passo 5
A solução particular é
Portanto a solução geral da EDO é