Resolva o PVI:
y^prime prime-2 y^prime-8 y=3 e^-2 x, y(0)=1 e y^prime(0)=-1 / 2

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y'' - 2y' - 8y = 3e^-2x, y(0)=1, y'(0)=-tfrac12
Este é um caso de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo 3e^-2x. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' - 8y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 8 = 0,
cuja solução dá
r = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm 62;Longrightarrow;r1 = 4,;r2 = -2
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x

Passo 3

Para o particular tentamos
yp(x) = A,x,e^-2x,
pois e^-2x já aparece em yh. Calculamos as derivadas:
yp' = A e^-2x - 2A x e^-2x, yp'' = -4A e^-2x + 4A x e^-2x
Substituindo em y''-2y'-8y, obtemos
(-4A e^-2x +4A x e^-2x) -2l(A e^-2x-2A x e^-2xr) -8(A x e^-2x) = -6A e^-2x
Esse deve ser igual a 3e^-2x, logo
-6A = 3 Longrightarrow A = -tfrac12
Portanto
yp(x) = -tfrac12,x,e^-2x

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x - tfrac12,x,e^-2x
Impondo y(0)=1 e y'(0)=-tfrac12:
y(0)=C1+C2 = 1,
y'(x)=4C1 e^4x -2C2 e^-2x - tfrac12 e^-2x + x e^-2x ;Longrightarrow; y'(0)=4C1 -2C2 -tfrac12 = -tfrac12 ;Longrightarrow; 4C1 -2C2 = 0
Dessas equações vem
C2 = 2C1, C1 + 2C1 = 1 ;Longrightarrow; C1 = tfrac13,; C2 = tfrac23

Resposta

boxedy(x) = tfrac13 e^4x + tfrac23 e^-2x ;-;tfrac12,x,e^-2x

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