Para a EDO
y^(3)+y^prime=tan x
(a) Encontre a solução complementar.
(b) Encontre a solução particular pelo método de variação de parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y^(3) + y' = tan x,
isto é, (a) a solução complementar yc da homogênea
y^(3) + y' = 0
e (b) uma solução particular yp da não homogênea, usando variação de parâmetros. Vamos usar teoria de equações lineares com coeficientes constantes e o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Para achar yc escrevemos a equação característica de
y^(3) + y' = 0:
r^3 + r = 0 Longrightarrow r,(r^2 + 1)=0 Longrightarrow r=0,;pm i
As raízes são r=0 e r=pm i, gerando as soluções fundamentais
y1 = 1, y2 = cos x, y3 = sin x

Passo 3

A partir disso a solução complementar é
yc(x) = C1cdot 1 + C2cos x + C3sin x = C1 + C2cos x + C3sin x

Passo 4

Para encontrar yp note que
y^(3)+y'=ddxl(y''+yr)=tan x
Integrando em x obtemos
y'' + y = integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + B
O termo constante B pode ser absorvido em C1, então basta resolver
y'' + y = -lnl|cos xr|

Passo 5

Agora aplicamos variação de parâmetros à segunda ordem
y'' + y = g(x), g(x)=-lnl|cos xr|,
cuja base de soluções homogêneas é y2,y3=cos x,sin x. O Wronskiano é
W(cos x,sin x) =cos x & sin x -sin x & cos x =cos^2 x+sin^2 x=1
Então a fórmula prática para yp é
yp=-y2integral y3,g(x)W,dx +y3integral y2,g(x)W,dx,
isto é
yp = -cos xintegral sin x,l(-ln|cos x|r),dx +sin xintegral cos x,l(-ln|cos x|r),dx
yp =cos xintegral sin x,ln|cos x|,dx -sin xintegral cos x,ln|cos x|,dx

Passo 6

Calculamos as integrais
I1=integral sin x,ln|cos x|,dx
Fazendo t=cos x, dt=-sin x,dx, obtemos
I1 = -integral ln|t|,dt =-,l(tln|t|-tr) =-,cos xln|cos x|+cos x
Em seguida
I2=integral cos x,ln|cos x|,dx
por partes ( u=ln|cos x|, dv=cos x,dx) dá
I2 =sin xln|cos x| +integral sin xtan x,dx =sin xln|cos x| +integralsin^2xcos x,dx
I2 =sin xln|cos x| +integralsec x,dx-integralcos x,dx =sin xln|cos x| +lnl|sec x+tan xr| -sin x

Passo 7

Substituindo em yp e desprezando constantes que vão para yc,
yp =cos xl(-cos xln|cos x|+cos xr) -sin xl(sin xln|cos x|+ln|sec x+tan x|-sin xr)
yp =-!(cos^2x+sin^2x)ln|cos x| +l(cos^2x+sin^2xr) -sin xlnl|sec x+tan xr|
yp =-ln|cos x|+1-sin xlnl|sec x+tan xr|
Como o “ +1” pode ser absorvido em C1, uma expressão para a particular é
yp(x)=-lnl|cos xr| -sin x;lnl|sec x+tan xr|

Resposta

(a) yc(x)=C1 + C2cos x + C3sin x
(b) Uma solução particular é
yp(x)=-lnl|cos xr| -sin x;lnl|sec x+tan xr|

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