(a) Encontre a solução complementar.
(b) Encontre a solução particular pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
isto é, (a) a solução complementar da homogênea
e (b) uma solução particular da não homogênea, usando variação de parâmetros. Vamos usar teoria de equações lineares com coeficientes constantes e o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Para achar escrevemos a equação característica de
As raízes são e , gerando as soluções fundamentais
Passo 3
A partir disso a solução complementar é
Passo 4
Para encontrar note que
Integrando em obtemos
O termo constante B pode ser absorvido em C1, então basta resolver
y'' + y = -lnl|cos xr|
Passo 5
Agora aplicamos variação de parâmetros à segunda ordem
y'' + y = g(x), g(x)=-lnl|cos xr|,
cuja base de soluções homogêneas é y2,y3=cos x,sin x. O Wronskiano é
W(cos x,sin x) =cos x & sin x -sin x & cos x =cos^2 x+sin^2 x=1