Resolva a equação não homogênea via variação de parâmetros:
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=x^4, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por variação de parâmetros a equação de Cauchy–Euler não homogênea
x^2y'' - 3x y' + 4y = x^4, x>0
O conteúdo envolve dois tópicos principais: (i) solução da equação homogênea tipo Euler, obtendo duas soluções linearly independentes y1 e y2; (ii) aplicação do método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular yp.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
x^2y'' - 3x y' + 4y = 0,
propondo a solução y = x^m. Substituindo,
m(m-1) - 3m + 4 = 0 ;Longrightarrow; m^2 - 4m + 4 = 0 ;Longrightarrow; (m-2)^2=0
Temos raiz dupla m=2. Logo as duas soluções independentes são
y1(x) = x^2, y2(x) = x^2ln x

Passo 3

Para variar parâmetros precisamos do Wronskiano das soluções homogêneas:
W(x) = y1 & y2 [6pt] y1' & y2'
Calculamos
y1' = 2x, y2' = ddxl(x^2ln xr) =2xln x + x = x,(2ln x + 1)
Então
W(x) = x^2cdot x(2ln x+1) ;- 2xcdot x^2ln x = x^3l(2ln x + 1 - 2ln xr) = x^3 ]

Passo 4

Nas fórmulas de variação de parâmetros para
a(x)y''+b(x)y'+c(x)y = g(x)
com a(x)=x^2 e g(x)=x^4, definimos as derivadas das funções auxiliares u1(x) e u2(x) por
u1'(x) = -y2(x),g(x)a(x),W(x), u2'(x) = y1(x),g(x)a(x),W(x)

Passo 5

Substituindo y1,y2,a,W,g em cada expressão:
u1' = -x^2ln x;cdot x^4x^2cdot x^3 = -,x^6ln xx^5 = -,xln x,
u2' = x^2;cdot x^4x^2cdot x^3 = x^6x^5 = x
Integramos em x:
u1(x) = integral -,xln x;dx = -l(x^22ln x - x^24r) = -x^22ln x + x^24,
u2(x) = integral x;dx = x^22

Passo 6

A solução particular é
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x)
Substituindo:
yp = l(-x^22ln x + x^24r)x^2 ;+;x^22,l(x^2ln xr) = -x^42ln x + x^44 + x^42ln x = x^44

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C1,x^2 + C2,x^2ln x + x^44

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