Resolva a equação não homogênea via variação de parâmetros:
Passo 1
O enunciado pede para resolver por variação de parâmetros a equação de Cauchy–Euler não homogênea
O conteúdo envolve dois tópicos principais: (i) solução da equação homogênea tipo Euler, obtendo duas soluções linearly independentes e ; (ii) aplicação do método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular .
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
propondo a solução . Substituindo,
Temos raiz dupla . Logo as duas soluções independentes são
Passo 3
Para variar parâmetros precisamos do Wronskiano das soluções homogêneas:
Calculamos
y1' = 2x, y2' = ddxl(x^2ln xr) =2xln x + x = x,(2ln x + 1)
Então
W(x) = x^2cdot x(2ln x+1) ;- 2xcdot x^2ln x = x^3l(2ln x + 1 - 2ln xr) = x^3 ]
Passo 4
Nas fórmulas de variação de parâmetros para
a(x)y''+b(x)y'+c(x)y = g(x)
com a(x)=x^2 e g(x)=x^4, definimos as derivadas das funções auxiliares u1(x) e u2(x) por