Determine a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=3 \cos (2 t)-2 e^{-9 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=3\cos(2t)-2e^{-9t}.
O conteúdo é transformada de Laplace, vamos usar a linearidade
\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}
e as fórmulas básicas
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2}
e
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}.

Passo 2

Transformada de 3\cos(2t):
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^2+2^2}=\frac{s}{s^2+4},
então
\mathcal{L}\{3\cos(2t)\} =3\cdot\frac{s}{s^2+4} =\frac{3s}{s^2+4}.

Passo 3

Transformada de -2e^{-9t}:
\mathcal{L}\{e^{-9t}\}=\frac{1}{s+9},
então
\mathcal{L}\{-2e^{-9t}\} =-2\cdot\frac{1}{s+9} =-\frac{2}{s+9}.

Passo 4

Pela linearidade, somamos os resultados:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{3s}{s^2+4} -\frac{2}{s+9}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{3s}{s^2+4} -\frac{2}{s+9}.

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