Sejam
e
. Verifique as identidades:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor
e a sua magnitude
. A questão pede pra gente verificar se a identidade
é verdadeira. Basicamente, estamos trabalhando com cálculos vetoriais, especificamente com o operador divergente (
) aplicado a um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência de um vetor que é o produto de um escalar
e o próprio vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um vetor
é dada por:
Nesse caso, nosso vetor
é
, então precisamos encontrar cada componente desse produto.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que:
Então:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a divergência:
Para cada uma delas, usamos a regra do produto, já que
depende de
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Fazemos de forma similar para
e
:
Passo 6
Agora, somamos todas essas derivadas para encontrar a divergência:
Isso simplifica para:
Como
, temos
.
Passo 7
Substituindo
por
:
Resposta
Portanto, verificamos que
é verdadeira.