Sejam r=x i+y j+z k e r=|r|. Verifique as identidades:
nabla bul<=t(r r)=4 r;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor r = x i + y j + z k e a sua magnitude r = |r|. A questão pede pra gente verificar se a identidade nabla bul<=t (r r) = 4r é verdadeira. Basicamente, estamos trabalhando com cálculos vetoriais, especificamente com o operador divergente ( nabla bul<=t) aplicado a um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência de um vetor que é o produto de um escalar r e o próprio vetor r.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um vetor F = Fx i + Fy j + Fz k é dada por:
nabla bul<=t F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Nesse caso, nosso vetor F é r r, então precisamos encontrar cada componente desse produto.

Passo 3

Vamos calcular r r. Sabemos que:
r = |r| = raizx^2 + y^2 + z^2
Então:
r r = r (x i + y j + z k) = (r x) i + (r y) j + (r z) k
Isso significa que:
Fx = r x, Fy = r y, Fz = r z

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a divergência:
partial Fxpartial x = partialpartial x (r x)
partial Fypartial y = partialpartial y (r y)
partial Fzpartial z = partialpartial z (r z)
Para cada uma delas, usamos a regra do produto, já que r depende de x, y e z.

Passo 5

Vamos calcular partialpartial x (r x):
partialpartial x (r x) = x partial rpartial x + r partial xpartial x = x cdot xr + r cdot 1 = x^2r + r
Fazemos de forma similar para y e z:
partialpartial y (r y) = y^2r + r
partialpartial z (r z) = z^2r + r

Passo 6

Agora, somamos todas essas derivadas para encontrar a divergência:
nabla bul<=t (r r) = (x^2r + r) + (y^2r + r) + (z^2r + r)
Isso simplifica para:
x^2 + y^2 + z^2r + 3r
Como r = raizx^2 + y^2 + z^2, temos x^2 + y^2 + z^2 = r^2.

Passo 7

Substituindo x^2 + y^2 + z^2 por r^2:
r^2r + 3r = r + 3r = 4r

Resposta

Portanto, verificamos que nabla bul<=t (r r) = 4r é verdadeira.

Exercícios relacionados