Determine a solução geral da equação
x d yd x-y=x^3 sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que a gente tem é:
x dydx - y = x^3 sin x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar ela na forma padrão de uma equação linear:
dydx - 1x y = x^2 sin x
Aqui, dividimos todos os termos por x para isolar dydx. Agora, a equação está na forma:
dydx + P(x) y = Q(x)
onde P(x) = -1x e Q(x) = x^2 sin x.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -1x dx = e^-ln |x| = 1x
Então, nosso fator integrante é 1x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela mu(x) que encontramos:
1x cdot dydx - 1x^2 y = x^2x sin x
Simplificando:
1x dydx - 1x^2 y = x sin x

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto de mu(x) e y:
ddx ( yx ) = x sin x
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido justamente para que isso acontecesse.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar y:
integral ddx ( yx ) dx = integral x sin x dx
Simplificando a integração:
yx = integral x sin x dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral integral x sin x dx usando a integração por partes. Lembre-se que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = sin x dx Rightarrow v = -cos x
Aplicando:
integral x sin x dx = -x cos x + integral cos x dx = -x cos x + sin x + C

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
yx = -x cos x + sin x + C
Agora, multiplicamos ambos os lados por x para isolar y:
y = -x^2 cos x + x sin x + Cx

Resposta

A solução geral da equação é:
y = -x^2 cos x + x sin x + Cx

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