Determine a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar ela na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, dividimos todos os termos por
para isolar
. Agora, a equação está na forma:
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Então, nosso fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
A esquerda da equação agora é a derivada do produto de
e
:
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido justamente para que isso acontecesse.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
Simplificando a integração:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral
usando a integração por partes. Lembre-se que:
Escolhemos:
Aplicando:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação é: