Resolva as equações lineares dadas as condições iniciais:
x y^prime+y=3 x^2, y(1)=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
x,y' + y = 3x^2
com condição inicial y(1)=4. O conteúdo é equações lineares de 1ª ordem e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y' + P(x),y = Q(x). Dividindo por x (supondo xneq0):
y' + 1xy = 3x
Aqui P(x)=1x e Q(x)=3x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral1x,dxr) = exp(ln x) = x

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x)=x, obtendo
x,y' + y = 3x^2
O lado esquerdo é (x,y)'. Logo
(x,y)' = 3x^2
Integramos em x:
integral (x,y)' ,dx = integral 3x^2 ,dx ;Longrightarrow; x,y = x^3 + C

Passo 5

Isolamos y:
y = x^3 + Cx = x^2 + Cx
Aplicamos y(1)=4:
4 = 1^2 + C1 ;Longrightarrow; 4 = 1 + C ;Longrightarrow; C = 3
Portanto a solução particular é
y = x^2 + 3x

Resposta

y(x) = x^2 + 3x

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