Uma lente circular de raio de 2 polegadas tem uma espessura de 1-(r^2 / 4) polegadas em todos pontos a r polegadas do centro da lente. Encontre a espessura média da lente.

Passo 1

O enunciado dá uma lente circular de raio 2 polegadas cuja espessura em função da distância radial r ao centro é
t(r)=1 - r^24
Queremos a espessura média sobre toda a área do disco. Para isso usamos o valor médio de uma função num domínio: espessura média = dfrac1área integral dupladisco t(r),dAéá.

Passo 2

A área do disco de raio 2 é
A = pi cdot 2^2 = 4pi
Em coordenadas polares o elemento de área é dA = r,dr,dtheta, e a integral do numerador fica
N = integral0^2pi!integral0^2 l(1 - r^24r),r,dr,dtheta

Passo 3

Calculando primeiro a integral em r:
integral0^2l(1 - r^24r),r,dr = integral0^2l(r - r^34r)dr = l[r^22 - r^416r]0^2 = l(2 - 1r) = 1
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N = integral0^2pi 1 ,dtheta = 2pi

Passo 4

A espessura média é
NA = 2pi4pi = 12

Resposta

A espessura média da lente é 12 polegada.

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