Determine a solução geral da equação
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=e^{x / 2} \sqrt{1-x^{2}} .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária não homogênea
4 y''-4 y'+y = e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}.
O que se pede é a solução geral y(x) dessa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito é e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}; portanto a função forçante é bem definida para |x|\le 1 no sentido real (isso importa se quisermos soluções reais nesse intervalo).
  • Para encontrar a solução geral precisamos obter a solução geral da homogênea e uma solução particular da não homogênea; a solução geral será a soma desses dois tipos de solução.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
4 y''-4 y'+y=0.
Assumimos solução da forma y=e^{r x}. Substituindo obtemos o polinômio característico
4 r^{2}-4 r+1=0.
Calculemos as raízes: o discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot4\cdot1=16-16=0,
logo há uma raiz dupla
r=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Para uma raiz dupla r=1/2 a solução geral da homogênea é
y_h(x)=\left(C_{1}+C_{2}x\right)e^{x/2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Vamos simplificar a equação usando o fato de que o operador diferencial pode ser escrito em termos de D=\dfrac{d}{dx}. Observamos
4 D^{2}-4 D+1 = 4\bigl(D^{2}-D+\tfrac{1}{4}\bigr)=4\bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}.
Portanto a equação original é
4\bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}y = e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}.
Agora fazemos a substituição esperta que simplifica \bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr): escrevemos
y(x)=e^{x/2} z(x).
Vamos calcular \bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr)y em termos de z. Primeiro
y' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x/2} z\bigr) = e^{x/2}\bigl(z'+\tfrac{1}{2}z\bigr),
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\bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr)y = y' - \tfrac{1}{2}y = e^{x/2} z'.
Aplicando \bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr) novamente,
\bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}y = \bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(e^{x/2} z'\bigr) = e^{x/2} z''.
Assim o lado esquerdo da equação fica muito simples:
4\bigl(D-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}y = 4 e^{x/2} z''.

Passo 4

Substituindo na equação original obtemos
4 e^{x/2} z'' = e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}.
Como e^{x/2} é nunca nula, podemos cancelar e obter uma equação muito mais simples para z:
4 z'' = \sqrt{1-x^{2}}.
Portanto
z''(x) = \tfrac{1}{4}\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 5

Integramos uma vez para obter z'(x). Precisamos do integral
\int \sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Uma forma simples de calcular esse integral é usar a substituição trigonométrica x=\sin t, de onde dx=\cos t\,dt e \sqrt{1-x^{2}}=\cos t. Então
\int \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int \cos^{2}t\,dt = \int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C.
Voltando para x: t=\arcsin x, \sin 2t = 2\sin t\cos t = 2x\sqrt{1-x^{2}}. Assim
\int \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}} + C.
Portanto, integrando z''=\tfrac{1}{4}\sqrt{1-x^{2}} obtemos
z'(x) = \tfrac{1}{4}\int \sqrt{1-x^{2}}\,dx + C_{3} = \tfrac{1}{4}\Bigl(\tfrac{1}{2}\arcsin x + \tfrac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}\Bigr) + C_{3}.
Simplificando os fatores:
z'(x) = \tfrac{1}{8}\arcsin x + \tfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^{2}} + C_{3}.

Passo 6

Agora integramos para obter z(x). Precisamos integrar cada termo:
  • Para \int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx fazemos a substituição u=1-x^{2}, du=-2x\,dx. Então
\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = -\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{3}u^{3/2} + C = -\tfrac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2} + C.
  • Para \int \arcsin x\,dx usamos integração por partes: tome u=\arcsin x, dv=dx. Então du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx e v=x. Assim
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Na integral restante faz-se a substituição w=1-x^{2} como acima e obtém-se \int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = -\sqrt{1-x^{2}}. Portanto
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^{2}} + C.
Agora aplicamos esses resultados aos termos em z'. Lembrando que z'(x)=\tfrac{1}{8}\arcsin x + \tfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^{2}} + C_{3}, integramos:
z(x) = \tfrac{1}{8}\int \arcsin x\,dx + \tfrac{1}{8}\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx + C_{3}x + C_{4}.
Substituindo os integrais calculados:
z(x) = \tfrac{1}{8}\bigl(x\arcsin x + \sqrt{1-x^{2}}\bigr) + \tfrac{1}{8}\bigl(-\tfrac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2}\bigr) + C_{3}x + C_{4}.
Simplificamos os termos que envolvem potências de (1-x^{2})^{1/2}. Agrupando:
z(x) = \tfrac{1}{8}x\arcsin x + \frac{1}{8}\sqrt{1-x^{2}} - \frac{1}{24}(1-x^{2})^{3/2} + C_{3}x + C_{4}.
Fatorando \sqrt{1-x^{2}} nos dois primeiros termos dá uma forma mais compacta. Note que
\frac{1}{8}\sqrt{1-x^{2}} - \frac{1}{24}(1-x^{2})^{3/2} = \sqrt{1-x^{2}}\left(\tfrac{1}{8} - \tfrac{1-x^{2}}{24}\right) = \sqrt{1-x^{2}}\cdot \frac{2+x^{2}}{24}.
Portanto uma forma simplificada para a parte particular de z é
z(x) = \tfrac{1}{8}x\arcsin x + \tfrac{1}{24}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}} + C_{3}x + C_{4}.

Passo 7

Voltando à variável original y usando y=e^{x/2} z, obtemos a solução geral:
y(x) = e^{x/2}\Biggl(\tfrac{1}{8}x\arcsin x + \tfrac{1}{24}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}\Biggr) + e^{x/2}\bigl(C_{3}x + C_{4}\bigr).
Como e^{x/2}(C_{3}x + C_{4}) é exatamente a solução homogênea encontrada antes, renomeando as constantes C_{3},C_{4} para C_{1},C_{2} obtemos a forma final mais usual:

Resposta

y(x)=e^{x/2}\Biggl(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{8}x\arcsin x+\tfrac{1}{24}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}\Biggr).

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