Determine a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária não homogênea
O que se pede é a solução geral
dessa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito é
; portanto a função forçante é bem definida para no sentido real (isso importa se quisermos soluções reais nesse intervalo). - Para encontrar a solução geral precisamos obter a solução geral da homogênea e uma solução particular da não homogênea; a solução geral será a soma desses dois tipos de solução.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Assumimos solução da forma
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Calculemos as raízes: o discriminante é
logo há uma raiz dupla
Para uma raiz dupla
a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Vamos simplificar a equação usando o fato de que o operador diferencial pode ser escrito em termos de
. Observamos
Portanto a equação original é
Agora fazemos a substituição esperta que simplifica
: escrevemos
Vamos calcular
em termos de
. Primeiro
logo
Aplicando
novamente,
Assim o lado esquerdo da equação fica muito simples:
Passo 4
Substituindo na equação original obtemos
Como
é nunca nula, podemos cancelar e obter uma equação muito mais simples para
:
Portanto
Passo 5
Integramos uma vez para obter
. Precisamos do integral
Uma forma simples de calcular esse integral é usar a substituição trigonométrica
, de onde
e
. Então
Voltando para
:
,
. Assim
Portanto, integrando
obtemos
Simplificando os fatores:
Passo 6
Agora integramos para obter
. Precisamos integrar cada termo:
- Para
fazemos a substituição , . Então
- Para
usamos integração por partes: tome , . Então e . Assim
Na integral restante faz-se a substituição
como acima e obtém-se
. Portanto
Agora aplicamos esses resultados aos termos em
. Lembrando que
, integramos:
Substituindo os integrais calculados:
Simplificamos os termos que envolvem potências de
. Agrupando:
Fatorando
nos dois primeiros termos dá uma forma mais compacta. Note que
Portanto uma forma simplificada para a parte particular de
é
Passo 7
Voltando à variável original
usando
, obtemos a solução geral:
Como
é exatamente a solução homogênea encontrada antes, renomeando as constantes
para
obtemos a forma final mais usual: