Use o método de Variação dos Parâmentros para resolver a seguinte equação diferencial:
y^{\prime \prime \prime}+9 y^{\prime}=\operatorname{sec} (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem não-homogênea
y^{\prime\prime\prime}+9y^{\prime}=\operatorname{sec}(3x).
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é linear com coeficientes constantes, de ordem 3.
  • O termo não-homogêneo é \operatorname{sec}(3x).
  • Deve-se usar o método de Variação dos Parâmetros para obter uma solução particular e, então, a solução geral.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}+9y^{\prime}=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. A equação característica é
r^{3}+9r=0 \quad\Rightarrow\quad r(r^{2}+9)=0.
As raízes são r=0 e r=\pm 3i. Portanto uma base de soluções fundamentais para a homogênea é
y_{1}=1,\qquad y_{2}=\cos(3x),\qquad y_{3}=\sin(3x).
Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cos(3x) + C_{3}\sin(3x).

Passo 3

Agora aplicamos Variação dos Parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular y_{p}\) da forma \[y_{p}=u_{1}(x)\,y_{1}+u_{2}(x)\,y_{2}+u_{3}(x)\,y_{3},
onde u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para fixar as três funções usamos as condições canônicas (para evitar derivadas de ordem alta de u_i):
\begin{cases} u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{3}'y_{3}=0,\\[4pt] u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{3}'y_{3}'=0,\\[4pt] u_{1}'y_{1}''+u_{2}'y_{2}''+u_{3}'y_{3}''=\operatorname{sec}(3x). \end{cases}
Essas três equações lineares determinam u_{1}',u_{2}',u_{3}'\]. Depois integramos para obter \(u_i e montamos y_p.]

Passo 4

Calculo das derivadas das soluções fundamentais (vou escrever A=\cos(3x) e B=\sin(3x) quando for útil):
y_{1}=1,\quad y_{1}'=0,\quad y_{1}''=0,
y_{2}=\cos(3x),\quad y_{2}'=-3\sin(3x),\quad y_{2}''=-9\cos(3x),
y_{3}=\sin(3x),\quad y_{3}'=3\cos(3x),\quad y_{3}''=-9\sin(3x).

Passo 5

Escrevendo o sistema para u_i'\) com as derivadas acima: \[\begin{cases} u_{1}'\cdot 1 + u_{2}'\cos(3x) + u_{3}'\sin(3x)=0,\\[4pt] u_{1}'\cdot 0 + u_{2}'(-3\sin(3x)) + u_{3}'(3\cos(3x))=0,\\[4pt] u_{1}'\cdot 0 + u_{2}'(-9\cos(3x)) + u_{3}'(-9\sin(3x))=\operatorname{sec}(3x). \end{cases}
Simplificando as duas últimas equações (dividindo a segunda por 3\] e a terceira por \(-9 para facilitar):
\begin{cases} u_{1}'+u_{2}'\cos(3x)+u_{3}'\sin(3x)=0,\\[4pt] - u_{2}'\sin(3x) + u_{3}'\cos(3x)=0,\\[4pt] u_{2}'\cos(3x) + u_{3}'\sin(3x) = -\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x). \end{cases}]

Passo 6

Das duas últimas equações resolvemos primeiro para u_{2}'\) e \(u_{3}'\). Escrevendo em notação com \(A=\cos(3x)\) e \(B=\sin(3x)\): \[\begin{cases} - B\,u_{2}'+ A\,u_{3}'=0,\\[4pt] A\,u_{2}'+ B\,u_{3}' = -\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x). \end{cases}
Determinante do sistema (em relação a u_{2}',u_{3}'\]) é \[D = (-B)\cdot B - A\cdot A = -B^{2}-A^{2} = -1.\] Usando Cramer: \[u_{2}'=\dfrac{\det\begin{pmatrix}0 & A\\\\ -\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x) & B\end{pmatrix}}{D} =\dfrac{0\cdot B - A\left(-\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x)\right)}{-1} =\dfrac{\dfrac{1}{9}A\operatorname{sec}(3x)}{-1}.\] Como \(A\operatorname{sec}(3x)=\cos(3x)\cdot\operatorname{sec}(3x)=1, isto dá
u_{2}'=-\dfrac{1}{9}.
Para u_{3}':
u_{3}'=\dfrac{\det\begin{pmatrix}-B & 0\\\ A & -\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x)\end{pmatrix}}{D} =\dfrac{(-B)\left(-\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x)\right)-0\cdot A}{-1} =\dfrac{\dfrac{1}{9}B\operatorname{sec}(3x)}{-1}.
Como B\operatorname{sec}(3x)=\sin(3x)\operatorname{sec}(3x)=\tan(3x), obtemos
u_{3}'=-\dfrac{1}{9}\tan(3x).]

Passo 7

Agora usamos a primeira equação para u_{1}':
u_{1}' = -\bigl(u_{2}'\cos(3x)+u_{3}'\sin(3x)\bigr).
Substituindo u_{2}' e u_{3}':
u_{2}'\cos(3x) = -\dfrac{1}{9}\cos(3x), \qquad u_{3}'\sin(3x) = -\dfrac{1}{9}\tan(3x)\sin(3x) = -\dfrac{1}{9}\dfrac{\sin^{2}(3x)}{\cos(3x)}.
Somando:
u_{2}'\cos(3x)+u_{3}'\sin(3x)=-\dfrac{1}{9}\!\left(\cos(3x)+\dfrac{\sin^{2}(3x)}{\cos(3x)}\right) =-\dfrac{1}{9}\dfrac{\cos^{2}(3x)+\sin^{2}(3x)}{\cos(3x)} =-\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x).
Portanto
u_{1}'=-\bigl(-\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x)\bigr)=\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x).

Passo 8

Integramos u_{i}' para obter u_{i}. Para buscar uma solução particular podemos tomar constantes de integração iguais a zero (essas constantes seriam absorvidas na solução homogênea).
  • Para u_{2}'=-\dfrac{1}{9} temos
u_{2}(x)=-\dfrac{x}{9}.
  • Para u_{3}'=-\dfrac{1}{9}\tan(3x) temos
u_{3}(x)=-\dfrac{1}{9}\int \tan(3x)\,dx.
Recordando que \displaystyle\int \tan(ax)\,dx = -\dfrac{1}{a}\ln\bigl|\cos(ax)\bigr| + C, obtemos
u_{3}(x)=-\dfrac{1}{9}\left(-\dfrac{1}{3}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|\right)=\dfrac{1}{27}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|.
  • Para u_{1}'=\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x) temos
u_{1}(x)=\dfrac{1}{9}\int \operatorname{sec}(3x)\,dx.
Recordando que \displaystyle\int \operatorname{sec}(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\bigl|\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)\bigr| + C, obtemos
u_{1}(x)=\dfrac{1}{9}\cdot \dfrac{1}{3}\ln\bigl|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\bigr| =\dfrac{1}{27}\ln\bigl|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\bigr|.

Passo 9

Montamos a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+u_{3}y_{3}. Substituindo tudo:
y_{p}(x)=\dfrac{1}{27}\ln\bigl|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\bigr| -\dfrac{x}{9}\cos(3x) +\dfrac{1}{27}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|\sin(3x).
Podemos deixar a solução nessa forma (está correta e explícita). Não há simplificação elementar que torne essa expressão muito mais curta sem combinar termos não homogêneos (o termo com \sin(3x)\ln|\cos(3x)| permanece).

Passo 10

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}+C_{2}\cos(3x)+C_{3}\sin(3x) +\dfrac{1}{27}\ln\bigl|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\bigr| -\dfrac{x}{9}\cos(3x) +\dfrac{1}{27}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|\sin(3x),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}\cos(3x)+C_{3}\sin(3x) +\dfrac{1}{27}\ln\bigl|\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\bigr| -\dfrac{x}{9}\cos(3x) +\dfrac{1}{27}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|\sin(3x).

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