Agora aplicamos Variação dos Parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular y_{p}\) da forma
\[y_{p}=u_{1}(x)\,y_{1}+u_{2}(x)\,y_{2}+u_{3}(x)\,y_{3},
onde u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para fixar as três funções usamos as condições canônicas (para evitar derivadas de ordem alta de u_i):
Das duas últimas equações resolvemos primeiro para u_{2}'\) e \(u_{3}'\). Escrevendo em notação com \(A=\cos(3x)\) e \(B=\sin(3x)\):
\[\begin{cases} - B\,u_{2}'+ A\,u_{3}'=0,\\[4pt] A\,u_{2}'+ B\,u_{3}' = -\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x). \end{cases}
Determinante do sistema (em relação a u_{2}',u_{3}'\]) é
\[D = (-B)\cdot B - A\cdot A = -B^{2}-A^{2} = -1.\]
Usando Cramer:
\[u_{2}'=\dfrac{\det\begin{pmatrix}0 & A\\\\ -\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x) & B\end{pmatrix}}{D} =\dfrac{0\cdot B - A\left(-\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x)\right)}{-1} =\dfrac{\dfrac{1}{9}A\operatorname{sec}(3x)}{-1}.\]
Como \(A\operatorname{sec}(3x)=\cos(3x)\cdot\operatorname{sec}(3x)=1, isto dá
u_{2}'=-\dfrac{1}{9}.
Para u_{3}':
u_{3}'=\dfrac{\det\begin{pmatrix}-B & 0\\\ A & -\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x)\end{pmatrix}}{D} =\dfrac{(-B)\left(-\dfrac{1}{9}\operatorname{sec}(3x)\right)-0\cdot A}{-1} =\dfrac{\dfrac{1}{9}B\operatorname{sec}(3x)}{-1}.
Como B\operatorname{sec}(3x)=\sin(3x)\operatorname{sec}(3x)=\tan(3x), obtemos
Integramos u_{i}' para obter u_{i}. Para buscar uma solução particular podemos tomar constantes de integração iguais a zero (essas constantes seriam absorvidas na solução homogênea).
Para u_{2}'=-\dfrac{1}{9} temos
u_{2}(x)=-\dfrac{x}{9}.
Para u_{3}'=-\dfrac{1}{9}\tan(3x) temos
u_{3}(x)=-\dfrac{1}{9}\int \tan(3x)\,dx.
Recordando que \displaystyle\int \tan(ax)\,dx = -\dfrac{1}{a}\ln\bigl|\cos(ax)\bigr| + C, obtemos
Podemos deixar a solução nessa forma (está correta e explícita). Não há simplificação elementar que torne essa expressão muito mais curta sem combinar termos não homogêneos (o termo com \sin(3x)\ln|\cos(3x)| permanece).
Passo 10
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular: