Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função f : A \rightarrow \mathbb{R} em que f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2} e A como no item anterior
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função f\colon A\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}, sendo A o conjunto definido no item anterior.”
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho aqui:
A função é f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.
O conjunto A não foi fornecido nesta mensagem (o enunciado refere-se a “o item anterior”, que não foi enviado).
Como o conjunto A NÃO foi informado, não é possível dar uma única resposta numérica/geométrica às perguntas sobre máximos e mínimos — os extremos dependem fortemente de qual é o conjunto A (por exemplo, A=\mathbb{R}^{2} dá uma resposta diferente de A ser um círculo, um disco, um segmento, etc.). A seguir eu explico detalhadamente como proceder em cada caso típico e mostro exemplos completos para que você possa aplicar direto quando souber qual é o A.
Passo 2
Primeira ferramenta: procurar pontos críticos no interior do domínio (caso o interior exista). Explicação do método (aula mastigada):
Para encontrar pontos críticos de uma função f(x,y)\) diferenciável, calcula-se o gradiente \(\nabla f(x,y)\) e resolve-se \(\nabla f(x,y)=\mathbf{0}\).
- O gradiente reúne as derivadas parciais: \(\nabla f(x,y)=\big(\partial f/\partial x,\\ \partial f/\partial y\big)\).
Agora aplicando à nossa função:
- \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x+y\).
- \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x+2y\).
Logo
\[\nabla f(x,y)=(2x+y,\;x+2y).
Resolver \nabla f(x,y)=\mathbf{0} dá o sistema
\begin{cases} 2x+y=0,\\[4pt] x+2y=0. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo: multiplicando a segunda equação por 2 temos 2x+4y=0\]. Subtraindo a primeira equação \(2x+y=0 desta, obtemos 3y=0, portanto y=0. Substituindo em 2x+y=0 resulta 2x=0 e x=0. Assim o único ponto crítico é (0,0).]
Passo 3
Classificação do ponto crítico (min/máx/selim): usar a matriz Hessiana e teste de definitude — explico devagar.
Para a nossa função: \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2, \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2, e \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=1. Então
H=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Teste de definitude (forma prática): calcular os menores principais:
D_{1}=2>0.
D_{2}=\det H=2\cdot2-1\cdot1=3>0.
Se todos os menores principais são positivos, H é definida positiva, o que implica que f tem um mínimo local estrito no ponto crítico. Como f é um formulário quadrático positivo (ver abaixo), esse mínimo é global em \mathbb{R}^{2}. Valor no ponto:
f(0,0)=0.
Interpretação intuitiva rápida: f(x,y) é um quadrático que cresce quando \|(x,y)\| aumenta; portanto é natural que exista um mínimo (no centro) e que não haja máximo se permitirmos ir para infinito.]
Passo 4
Caso particular importante 1 — se A=\mathbb{R}^{2}: conclusão direta (resumindo o que já mostramos)
O único ponto crítico é (0,0).
A Hessiana é definida positiva, logo (0,0) é mínimo global.
Valor mínimo: \displaystyle \min_{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}} f(x,y)=f(0,0)=0.
Não existe máximo global porque f(x,y)\to+\infty quando \|(x,y)\|\to\infty. (Explicação: como f é positiva-definida, para vetores grandes o valor cresce sem limite.)
Passo 5
Como tratar o problema quando A é um conjunto restrito (compacto, círculo, disco, região com fronteira, etc.) — método passo a passo (aula prática):
Verificar pontos críticos interiores: resolver \nabla f=\mathbf{0} e manter apenas os que pertencem ao interior de A.
Analisar a fronteira \partial A:
Se a fronteira puder ser escrita como nível de uma função suave g(x,y)=0 (por exemplo, círculo x^{2}+y^{2}-1=0), usar multiplicadores de Lagrange: resolver\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),\qquad g(x,y)=0,e verificar as soluções.
Se a fronteira for uma curva fácil de parametrizar, parametrize-a, substitua na função e reduza o problema a um único variável (1D) e procure extremos dessa função de uma variável.
Se a fronteira for poligonal, checar extremos nos vértices e nos segmentos (parametrizando segmentos).
Comparar os valores de f obtidos nos pontos críticos internos e nos candidatos da fronteira; o maior é máximo global em A e o menor é mínimo global em A (desde que A seja fechado e limitado — caso contrário, extrema podem não existir).
Passo 6
Exemplo completo 1 (muito útil se o “item anterior” for o círculo): suponha A=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\}\) (a circunferência unitária). Aplico multiplicadores de Lagrange passo a passo:
- Constraint \(g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\).
- Sistema de Lagrange:
\[(2x+y,\;x+2y)=\lambda(2x,2y).
Para existir solução não trivial ((x,y)\neq(0,0)], o determinante do coeficiente deve ser zero: (2-2\lambda)^{2}-1=0.
Resolvendo: (2(1-\lambda))^{2}=1\quad\Rightarrow\quad (1-\lambda)^{2}=\tfrac{1}{4}
Caso \lambda=\tfrac{3}{2}: então 2-2\lambda=2-3=-1, as equações reduzem a -x+y=0 ou y=x. Com x^{2}+y^{2}=1 vem 2x^{2}=1, logo x=\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}} e y=\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}} com mesmo sinal. Avaliando:
Caso \lambda=\tfrac{1}{2}: então 2-2\lambda=1, as equações reduzem a x+y=0 ou y=-x. Com a circunferência vem 2x^{2}=1, então x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}, y=\mp\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Avaliando:
Mínimo em A: \displaystyle \min_{x^{2}+y^{2}=1} f=\tfrac{1}{2} nos pontos \big(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\mp\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big).
Máximo em A: \displaystyle \max_{x^{2}+y^{2}=1} f=\tfrac{3}{2} nos pontos \big(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big) (mesmo sinal).]
Passo 7
Exemplo completo 2 (se A for o disco fechado): suponha A=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Método:
Interior: o ponto crítico interior é (0,0) (ver Passo 2) com f(0,0)=0.
Fronteira: já calculada no Passo 6 — na circunferência o mínimo é \tfrac{1}{2} e o máximo é \tfrac{3}{2}.
Comparando valores:
O menor entre \{0,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\} é 0 em (0,0), logo mínimo global em A é 0 em (0,0).
O maior é \tfrac{3}{2} obtido na fronteira nos pontos \big(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big).
Portanto, para o disco fechado: mínimo 0 em (0,0); máximo \tfrac{3}{2} nos quatro pontos mencionados da circunferência.
Passo 8
Outros tipos de conjuntos A (dicas práticas rápidas):
Se A for um segmento ou curva simples: parametrizar e reduzir a um problema unidimensional.
Se A for uma região poligonal (p. ex. triângulo): verificar pontos críticos internos (se houver) e avaliar f nos vértices e nas arestas (parametrizando cada aresta).
Se A não for fechado nem limitado: verificar se extremos existem; frequentemente não há máximo se a função cresce para infinito, mas pode haver mínimo se a forma for positiva-definida e o conjunto permitir o ponto de mínimo.
Sempre comparar todos os candidatos (interior + fronteira) e escolher o maior e o menor.
Passo 9
Resumo prático para você na prova (receita pronta):
Verifique qual é A.
Calcule \nabla f e resolva \nabla f=\mathbf{0}; conserve soluções que pertençam a A.
Analise a fronteira de A: use Lagrange se a fronteira for um nível suave, ou parametrização, ou checagem de vértices/arestas conforme o caso.
Compare valores de f em todos os candidatos; o maior é o máximo em A e o menor é o mínimo em A (se A for compacto, há garantia de existência).
Lembrete: para f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}, o ponto crítico é (0,0) com valor 0 e a forma é positiva-definida (logo mínimo global em \mathbb{R}^{2} e sem máximo em \mathbb{R}^{2}). Para a circunferência unitária os extremos são \tfrac{1}{2} e \tfrac{3}{2} nos pontos dados; para o disco fechado o mínimo é 0 em (0,0) e o máximo é \tfrac{3}{2} naquelas quatro direções.
Resposta
Não é possível determinar valores únicos porque o conjunto A não foi informado no enunciado.