Determine a solução geral das equações abaixo:
y=x(y^prime)^2+(y^prime)^2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
y ;=; x,(y')^2 ;+;(y')^2
e pede a solução geral. Aqui y'=dy/dx. Vamos reescrever a equação de forma a isolar (y')^2.

Passo 2

Fatorando o lado direito em comum, obtemos
y ;=;(x+1),(y')^2
Logo
(y')^2 ;=;yx+1
e portanto
y' ;=;pmraizy,x+1,

Passo 3

Escrevendo a derivada como separação de variáveis, temos
dydx ;=;pmraizy,x+1, Longrightarrow dyraizy ;=;pmdxraizx+1

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dyraizy ;=;pmintegral dxraizx+1
Sabendo que integral y^-1/2dy=2raizy e integral (x+1)^-1/2dx=2raizx+1, resulta
2raizy ;=;pm 2raizx+1 + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 5

Dividindo por 2 e isolando raizy, obtemos
raizy ;=;pmraizx+1 ;+;C1,
com C1 = C/2. Elevando ao quadrado, a forma explícita da família de soluções é
y ;=;l(C1 pm raizx+1r)^2

Passo 6

Podemos incorporar o sinal “ pm” em outra constante, chamando K = C1 (podendo ser positivo ou negativo). Assim a solução geral fica
y ;=;l(K + raizx+1r)^2,
com K constante arbitrária real.

Resposta

boxedy = l(K + raizx+1r)^2, KinR

Exercícios relacionados