Determine o valor de A para que a solução y(x) do problema de valor inicial
l x y^prime+3 y=5 x^2+3, x>0 y(2)=A seja tal que lim x 0^+ y(x) seja finito

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x,y'(x)+3,y(x)=5x^2+3, x>0,[6pt] y(2)=A,
e pede o valor de A para que limxto0^+y(x) seja finito. O conteúdo é solução de EDO linear de primeira ordem e análise de singularidade no termo geral.]

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma padrão
y'+3x,y=5x+3x
Aqui p(x)=3/x e q(x)=5x+3/x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral 3x,dxr) =x^3

Passo 4

Multiplicando a EDO por mu(x)=x^3 obtemos
ddxl(x^3,yr) =x^3l(5x+3xr) =5x^4+3x^2
Integrando,
x^3,y=integrall(5x^4+3x^2r),dx =x^5+x^3+C,
logo a solução geral é
y(x)=x^2+1+C,x^-3

Passo 5

Impondo y(2)=A, temos
A=2^2+1+Ccdot2^-3 =5+C8 Longrightarrow C=8,(A-5)
Assim
y(x)=x^2+1+8,(A-5),x^-3

Passo 6

Para limxto0^+y(x) ser finito, o termo ,8(A-5)x^-3 não pode divergir, exigindo
A-5=0 Longrightarrow A=5

Resposta

A=5

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