Empregue este resultado para encontrar a solução geral de:
y^prime+y^2-2 y+1=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^prime + y^2 - 2y + 1 = 0,
que é do tipo variáveis separáveis. Vamos usar a fatoração y^2-2y+1=(y-1)^2 e separar y de x.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada de y em relação a x, temos
dydx = -,(y-1)^2
Agora separamos as variáveis:
dy(y-1)^2 = -,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos integral (y-1)^-2dy e do direito integral -1,dx:
integral (y-1)^-2,dy = integral -1,dx

Passo 4

Calculando as integrais:
integral (y-1)^-2,dy = -(y-1)^-1 e integral -1,dx = -x + C
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-(y-1)^-1 = -x + C

Passo 5

Multiplicando por -1 e isolando y, obtemos
(y-1)^-1 = x + C',
onde C'=-C é uma constante arbitrária. Invertendo,
y - 1 = 1x + C',
portanto
y(x) = 1 + 1x + C',
que é a solução geral.

Resposta

y(x) = 1 + 1x + C,
com C constante arbitrária.

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