Determine a solução geral das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a solução geral. Isso é a forma típica de uma equação de Clairaut, em que definimos
e escrevemos
com
. Para resolver, usamos a teoria de equações de Clairaut: há uma solução geral de reta (família de retas) e uma solução singular (envelope).
Passo 2
Na forma de Clairaut, a solução geral assume
constante. Basta substituir
em
para obter:
onde
é a constante arbitrária. Essa é a família de retas parámetrizada por
.
Passo 3
Para achar a solução singular, procuramos o envelope dessa família. Derivamos a expressão
em relação a
(tratando
como constante) e igualamos a zero:
Passo 4
Agora substituímos
de volta em
Como
, temos
Mas
e
, então
Resposta
Solução geral (família de retas):
Solução singular (envelope):