Determine a solução geral das equações abaixo:
y=x y^prime-1(y^prime)^2

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x,y' - 1l(y'r)^2
e pede a solução geral. Isso é a forma típica de uma equação de Clairaut, em que definimos p = y' e escrevemos
y = x,p + f(p),
com f(p) = -1/p^2. Para resolver, usamos a teoria de equações de Clairaut: há uma solução geral de reta (família de retas) e uma solução singular (envelope).

Passo 2

Na forma de Clairaut, a solução geral assume p=C constante. Basta substituir p=C em
y = x,p + f(p)
para obter:
y = C,x - 1C^2,
onde C é a constante arbitrária. Essa é a família de retas parámetrizada por C.

Passo 3

Para achar a solução singular, procuramos o envelope dessa família. Derivamos a expressão
y = x,p - 1p^2
em relação a p (tratando x como constante) e igualamos a zero:
partialpartial pl(x,p - p^-2r)=0 Longrightarrow x + 2,p^-3=0 Longrightarrow p^3=-2x,

Passo 4

Agora substituímos p de volta em
y = x,p - 1p^2,
Como p^3=-2/x, temos
p^2=l(p^3r)^2/3=l(-tfrac2xr)^2/3 e y = x,p - 1p^2 = x,p - l(-tfrac2xr)^-2/3,
Mas x,p = xl(-2/xr)^1/3=-2^1/3x^2/3 e l(-2/xr)^-2/3=2^-2/3x^2/3, então
y = -2^1/3x^2/3 - 2^-2/3x^2/3 = -l(2^1/3+2^-2/3r)x^2/3 = -3,2^-2/3,x^2/3,

Resposta

Solução geral (família de retas):
y = C,x - 1C^2, CinR
Solução singular (envelope):
y = -32^2/3,x^2/3

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