Determine a solução geral das equações abaixo:
2 x^2+y^2+(2 x y+3 y^2) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
2x^2 + y^2 + l(2xy + 3y^2r)dydx = 0
Vamos reconhecer que isso pode ser escrito na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificar se é uma equação exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x^2 + y^2, N(x,y) = 2xy + 3y^2
Para ser exata, devemos ter
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando,
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = 2y,
logo a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M(x,y) = 2x^2 + y^2
Integramos em relação a x:
psi(x,y) = integral (2x^2 + y^2),dx = 23x^3 + x,y^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Devemos ter também
psiy = N(x,y) = 2xy + 3y^2
Calculando
psiy = partialpartial yl(tfrac23x^3 + x y^2 + h(y)r) = 2x y + h'(y)
Igualando a 2xy + 3y^2 obtemos
h'(y) = 3y^2 Longrightarrow h(y) = y^3

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
23x^3 + x,y^2 + y^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

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