Determine a solução geral das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. Aqui o conteúdo principal é resolução de equações de primeira ordem não-lineares, usando a substituição
Passo 2
Fazendo
, reescrevemos a equação como
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
:
Isto é,
Passo 3
Invertemos para obter uma equação linear em
como função de
:
O fator integrante é
. Multiplicando por
vem
logo
Passo 4
Voltando à relação
, substituímos
:
Isto mostra que, na família obtida,
é constante. Substituir
constante na equação original
obriga e então
.
obriga
Passo 5
Além da solução trivial
, procuramos soluções particulares da forma
.
Então e a equação
Então
dá
(já vista) ou
. Logo
é uma solução particular não-trivial.
Resposta
As soluções da equação são