Determine a solução geral das equações abaixo:
y=2 x y^prime+(y^prime)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y = 2x,y' + l(y'r)^2
e pede a solução geral. Aqui o conteúdo principal é resolução de equações de primeira ordem não-lineares, usando a substituição
p = y' = dydx

Passo 2

Fazendo p=y', reescrevemos a equação como
y = 2x,p + p^2
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x:
dydx = p = ddxl(2x,p + p^2r) = 2p + 2x,dpdx + 2p,dpdx
Isto é,
p = 2p + 2,(x+p),dpdx Longrightarrow -,p = 2,(x+p),dpdx Longrightarrow dpdx = -,px+p

Passo 3

Invertemos para obter uma equação linear em x como função de p:
dxdp = -,x + pp Longrightarrow dxdp + 1p,x = -1
O fator integrante é mu(p)=e^integral!1/p,dp=p. Multiplicando por p vem
p,dxdp + x = -p Longrightarrow ddp!l(p,xr) = -p Longrightarrow p,x = -p^22 + C
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x = -p2 + Cp

Passo 4

Voltando à relação y=2x,p+p^2, substituímos x:
y = 2l(-tfracp2+tfracCpr)!p + p^2 = -p^2 + 2C + p^2 = 2C
Isto mostra que, na família obtida, y é constante. Substituir y= constante na equação original
y=2x,y'+(y')^2
obriga y'=0 e então y=0.

Passo 5

Além da solução trivial y=0, procuramos soluções particulares da forma y=ax^2.
Então y'=2ax e a equação
a,x^2 ;=;2x,(2ax) ;+;(2ax)^2 ;Longrightarrow; a,x^2 =4a,x^2 +4a^2x^2 ;Longrightarrow; 4a^2+3a=0
a=0 (já vista) ou a=-tfrac34. Logo
y = -34,x^2
é uma solução particular não-trivial.

Resposta

As soluções da equação são
boxedy(x)=0e y(x)=-tfrac34,x^2

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