Determine a solução geral das equações abaixo.
y+x y^2-x d yd x=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y + x,y^2 - xdydx = 0
Isso é uma EDO de primeira ordem que, reorganizada, fica
dydx = yx + y^2
Vamos usar a substituição u = 1/y para transformar em uma EDO linear.

Passo 2

Com u = 1/y temos
y = 1u, dydx = -1u^2dudx
Substituindo em dydx = yx + y^2
-1u^2dudx = 1u,x + 1u^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por -u^2 obtemos
dudx = -ux - 1,
ou seja a EDO linear
dudx + 1x,u = -1

Passo 4

O fator integrante é mu(x)=e^integral!1/x,dx=x. Multiplicando por x temos
ddxl(x,ur) = -x
Integrando,
x,u = -x^22 + C,
de modo que
u = -x2 + Cx

Passo 5

Volta à variável y por y=1/u:
y = 1-dfracx2 + dfracCx = x-dfracx^22 + C = 2x,2C - x^2,
Renomeando a constante geral 2Cto K, a solução fica
y = 2x,K - x^2,,
com K constante arbitrária.

Resposta

y = 2xK - x^2, KinRsetminus0

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