Determine a solução geral das equações abaixo.
x(x+y)^2+2 x+y(x+y)^2 d yd x=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x(x+y)^2 ;+;2x+y(x+y)^2;dydx=0
Este tipo de equação é homogêneo em x e y, pois a razão dydx aparece numa função de yx. Para resolver, vamos:
  1. simplificar multiplicando por (x+y)^2;
  2. reconhecer a forma dy/dx = phi(y/x);
  3. usar a substituição y=vx;
  4. separar variáveis e integrar.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por (x+y)^2 obtemos
x ;+;(2x+y),dydx=0 Longrightarrow (2x+y),dydx=-,x Longrightarrow dydx=-x2x+y

Passo 3

Fazendo a substituição y=vx, então dydx=v + xdvdx e 2x+y=2x+vx=x(2+v). Logo
v + xdvdx=-xx(2+v)=-12+v Longrightarrow xdvdx=-12+v-v =-v^2+2v+12+v =-(v+1)^2v+2

Passo 4

Separamos variáveis:
v+2(v+1)^2,dv=-dxx
Agora integramos cada lado:
integralv+2(v+1)^2,dv =integrall(1v+1+1(v+1)^2r),dv =lnlvert v+1rvert -1v+1,
integral -dxx=-lnlvert xrvert + C

Passo 5

Igualando as duas integrais:
lnlvert v+1rvert -1v+1=-lnlvert xrvert + C
Voltando a v=yx, temos v+1=x+yx. Então
lnllvertx+yxrrvert -xx+y =-lnlvert xrvert + C Longrightarrow lnlvert x+yrvert -xx+y=C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
boxedlnlvert x+yrvert ;-;xx+y=C

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