Determine a solução geral das equações abaixo.
d yd x-2 y=1-2 x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
dydx-2y=1-2x
O conteúdo aqui é EDO linear e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
dydx+p(x),y=q(x)
onde p(x)=-2 e q(x)=1-2x.
O fator integrante é
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^-2x

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por mu(x) e reconhecemos o derivado do produto:
e^-2xdydx-2e^-2xy =ddxl(e^-2xyr) =(1-2x)e^-2x

Passo 4

Integramos em relação a x:
integral ddxl(e^-2xyr),dx =integral (1-2x)e^-2x,dx
No lado esquerdo fica e^-2xy. No direito, usando integração por partes, obtém-se
integral(1-2x)e^-2x,dx = x e^-2x+C,
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e^-2xy = x e^-2x+C

Passo 5

Para isolar y, multiplicamos por e^2x:
y = x + Ce^2x

Resposta

y(x)=x+Ce^2x

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