Determine a solução geral das equações abaixo.
d yd x+1x y=e^x.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx + 1x,y = e^x
com xneq0. O conteúdo é o método do fator integrante para equações da forma
dydx + P(x),y = Q(x)
Aqui temos P(x)=1/x e Q(x)=e^x.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 1x,dxr) = exp(ln|x|) = |x|
Para simplificar, consideramos x>0 e tomamos mu(x)=x.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x:
xdydx + y = x,e^x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x,y, ou seja,
ddxl(x,yr) = x,e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados com respeito a x:
integral ddxl(x,yr),dx = integral x,e^x,dx
No lado direito usamos integração por partes: seja u=x, dv=e^x,dx, então du=dx, v=e^x, logo
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C

Passo 5

Da integral obtemos
x,y = (x-1)e^x + C,
e, isolando y, chega-se à solução geral
y = (x-1)e^x + Cx = x-1x,e^x + Cx

Resposta

y(x) = x-1x,e^x + Cx,
onde C é constante arbitrária.

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