Determine a solução geral das equações abaixo.
(1-x^2) y^prime-x y-a x y^2=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
(1 - x^2),y' - x,y - a,x,y^2 = 0,
onde y'=dy/dx. Este tipo de equação é separável, pois podemos escrever todos os termos com y de um lado e com x do outro.

Passo 2

Vamos isolar y' e separar as variáveis. Da equação original temos
(1 - x^2),y' = x,y,(1 + a,y)
Dividindo por (1 - x^2),y,(1 + a,y) e multiplicando por dx, obtemos
1y,(1 + a,y),dy = x1 - x^2,dx

Passo 3

Integramos os dois lados. Do lado esquerdo usamos frações parciais:
1y,(1 + a,y) = 1y - a1 + a,y,
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integral!l(1y - a1 + a,yr),dy = integral x1 - x^2,dx
Calculamos cada integral:
integral 1y,dy = ln|y|, integral a1 + a,y,dy = ln|1 + a,y|,
integral x1 - x^2,dx = -tfrac12 lnl|1 - x^2r|
Portanto,
ln|y| - ln|1 + a,y| = -tfrac12 lnl|1 - x^2r| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Reunindo os logaritmos temos
ln!|y1 + a,y| = -tfrac12 ln|1 - x^2| + C
Exponenciando, definimos uma nova constante K = e^C, obtendo
y1 + a,y = K ,(1 - x^2)^-tfrac12

Passo 5

Isolamos y. Da relação
y = K,(1 - x^2)^-tfrac12,l(1 + a,yr)
vem
y ;-; a,K,(1 - x^2)^-tfrac12,y = K,(1 - x^2)^-tfrac12,
yl(1 - a,Kraiz1 - x^2r) = Kraiz1 - x^2,
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y(x) = Kraiz1 - x^2;-;a,K
Aqui K é a constante de integração arbitrária.

Resposta

boxedy(x)=Kraiz1 - x^2;-;a,K,
onde K é a constante de integração.

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