Determine a solução geral das equações abaixo.
(1+x^2) d yd x-(1-y^2)=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(1+x^2)dydx - (1-y^2) = 0
Trata-se de uma equação de primeira ordem e variáveis separáveis, pois podemos isolar termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Reescrevendo para separar variáveis, temos
(1+x^2)dydx = 1 - y^2
Longrightarrow dy1 - y^2 = dx1 + x^2

Passo 3

Integramos ambos os lados. Sabendo que
integral dy1 - y^2 = artanh(y) + C1,
integral dx1 + x^2 = arctan(x) + C2,
e absorvendo C1-C2 em uma única constante C, obtemos
artanh(y) = arctan(x) + C

Passo 4

Para explicitar y, aplicamos a função hiperbólica inversa, obtendo
y = tanhl(arctan(x) + Cr)
Alternativamente, escrevendo C=tfrac12ln K, haveria formas equivalentes em termos de exponenciais.

Resposta

artanh(y) = arctan(x) + C Long<=ftrightarrow y = tanhl(arctan(x) + Cr),
onde C é a constante de integração.

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