Determine a solução geral das equações abaixo.
y=(x+1)(y^prime)^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem\r
y = (x+1),(y')^2 \r
e pede sua solução geral. Para resolver, vamos expressar y' em função de x e y e então usar separação de variáveis seguida de integração.

Passo 2

Da equação\r
y = (x+1),(y')^2 \r
temos\r
y' = pm raizyx+1

Passo 3

Agora separamos variáveis:\r
dyraizy = pm dxraizx+1

Passo 4

Integramos ambos os lados:\r
integral dyraizy = pm integral dxraizx+1 \r
o que leva a\r
2raizy = pm 2raizx+1 + C

Passo 5

Isolando raizy e definindo A = C/2, temos\r
raizy = pm raizx+1 + A \r
Elevando ao quadrado e absorvendo o sinal em A, obtemos\r
y = (raizx+1 + A)^2 \r
onde A é a constante de integração.

Passo 6

Há ainda a solução singular obtida quando o fator raizx+1+A se anula para cada x, o que dá\r
y = 0

Resposta

y = (raizx+1 + C)^2
y = 0 \r
onde C é constante arbitrária.

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