Questão 1. Dadas as equações diferenciais abaixo, verifique se y=f(x) dada, é solução geral da EDO. Em caso afirmativo, determine a solução particular, dadas as condições iniciais em cada item.
d^2 yd x^2+d yd x-2 y=0 , y=c1 e^x+c2 e^-2 x , y=d yd x=1 para x=0.

Passo 1

O exercício pede para verificar se a função proposta é de fato a solução geral da EDO y'' + y' - 2y = 0 e, em seguida, usar as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1 para encontrar a solução particular. O conteúdo envolve EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e o método da equação característica.

Passo 2

Para checar a solução geral, primeiro calculamos as derivadas de y = c1 e^x + c2 e^-2x:
y' = c1 e^x - 2c2 e^-2x,
y'' = c1 e^x + 4c2 e^-2x

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na EDO:
y'' + y' - 2y = (c1 e^x + 4c2 e^-2x) + (c1 e^x - 2c2 e^-2x) - 2(c1 e^x + c2 e^-2x) = 0
Como isso se anula identicamente, a proposta é realmente a solução geral.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais em x=0:
y(0) = c1 + c2 = 1,
y'(0) = c1 - 2c2 = 1
Resolvendo o sistema:
c1 + c2 = 1, c1 - 2c2 = 1,
subtraindo a segunda da primeira obtemos 3c2 = 0 logo c2 = 0 e c1 = 1.

Resposta

y(x)=e^x

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