Questão 1. Dadas as equações diferenciais abaixo, verifique se y=f(x) dada, é solução geral da EDO. Em caso afirmativo, determine a solução particular, dadas as condições iniciais em cada item.
x y^prime prime+x y^prime-4 y=0, y=x^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^2y''+x,y'-4y=0
e quer que a gente verifique se y=x^2 é solução. Esse tipo de EDO é do tipo Cauchy–Euler, em que se costuma testar uma solução do tipo y=x^m e depois obter a solução geral com dois parâmetros. Se y=x^2 for solução particular, veremos que a solução geral será
y=C1x^2+C2x^-2
Por fim, deveríamos aplicar as condições iniciais para achar C1 e C2, mas elas não foram informadas no enunciado.

Passo 2

Vamos verificar se y1(x)=x^2 satisfaz a EDO. Calculamos
y1'=2x, y1''=2
Substituindo em
x^2y''+x,y'-4y
temos
x^2cdot2 + xcdot(2x) -4cdot x^2 =2x^2+2x^2-4x^2=0
Logo, y=x^2 é de fato uma solução particular.

Passo 3

Para achar a solução geral usamos o método da equação de Euler. Supomos y=x^m e obtemos a equação indicial:
m(m-1)+m-4=0 ;Longrightarrow; m^2-4=0 ;Longrightarrow; m=2,;-2
Portanto a solução geral é
y(x)=C1x^2+C2x^-2

Passo 4

Para determinar a solução particular completa precisamos das condições iniciais (por exemplo y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0) de cada item. Como o enunciado não forneceu nenhum valor inicial, não é possível encontrar valores numéricos para C1 e C2.

Resposta

y=x^2 é uma solução particular da EDO, mas a solução geral é
y(x)=C1x^2+C2x^-2
Sem as condições iniciais não é possível determinar C1 e C2.

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