Determine a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
. Estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o termo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida eliminando o termo não homogêneo:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, obtemos:
Dividindo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
usando a fórmula de Bhaskara:
Como temos uma raiz quadrada de um número negativo, as soluções são complexas:
Passo 4
Com raízes complexas da forma
, sabemos que a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos derivar
para substituir na equação diferencial:
Substituindo
,
e
na equação
:
Simplificando:
Passo 7
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes de
e
devem ser iguais aos do lado direito. Assim, temos o sistema:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, encontrando
:
Passo 9
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: