Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime-y^prime+y=2 sen 3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação y'' - y' + y = 2 sin 3x . Estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o termo de 2 sin 3x .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida eliminando o termo não homogêneo:
y'' - y' + y = 0
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx . Substituindo na equação, obtemos:
r^2 e^rx - r e^rx + e^rx = 0
Dividindo por e^rx (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
r^2 - r + 1 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica r^2 - r + 1 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = 1 pm raiz1 - 42 = 1 pm raiz-32
Como temos uma raiz quadrada de um número negativo, as soluções são complexas:
r = 12 pm raiz32i

Passo 4

Com raízes complexas da forma alpha pm beta i , sabemos que a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
Aqui, alpha = 12 e beta = raiz32 . Então, temos:
yh(x) = e^x2 ( C1 cos( raiz32x ) + C2 sin( raiz32x ) )

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa y'' - y' + y = 2 sin 3x . Como o termo não homogêneo é 2 sin 3x , vamos supor uma solução particular da forma:
yp(x) = A cos 3x + B sin 3x
Onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos derivar yp(x) para substituir na equação diferencial:
yp'(x) = -3A sin 3x + 3B cos 3x
yp''(x) = -9A cos 3x - 9B sin 3x
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação y'' - y' + y = 2 sin 3x :
(-9A cos 3x - 9B sin 3x) - (-3A sin 3x + 3B cos 3x) + (A cos 3x + B sin 3x) = 2 sin 3x
Simplificando:
(-9A - 3B + A) cos 3x + (-9B + 3A + B) sin 3x) = 2 sin 3x
(-8A - 3B) cos 3x + (-8B + 3A) sin 3x = 2 sin 3x

Passo 7

Para que essa igualdade seja válida para todos os x , os coeficientes de cos 3x e sin 3x devem ser iguais aos do lado direito. Assim, temos o sistema:
-8A - 3B = 0
-8B + 3A = 2

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
-8A - 3B = 0 Rightarrow 8A = -3B Rightarrow A = -38B
Substituindo na segunda equação:
-8B + 3( -38B ) = 2
-8B - 98B = 2
-738B = 2 Rightarrow B = -1673
Agora, encontrando A :
A = -38 ( -1673 ) = 48584 = 673

Passo 9

Agora que temos A = 673 e B = -1673 , a solução particular é:
yp(x) = 673 cos 3x - 1673 sin 3x

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)
y(x) = e^x2 ( C1 cos( raiz32x ) + C2 sin( raiz32x ) ) + 673 cos 3x - 1673 sin 3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^x2 ( C1 cos( raiz32x ) + C2 sin( raiz32x ) ) + 673 cos 3x - 1673 sin 3x

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