Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir.
z=raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
z = raizx^2+y^2,
isto é, precisamos calcular
zx,;zy e
zxx,;zxy,;zyx,;zyy.
O conteúdo usado será a regra da cadeia e, no caso de zx e zy, também a regra do produto, lembrando que estamos assumindo (x,y)neq(0,0).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Aplicando a regra da cadeia a
z = (x^2+y^2)^1/2, temos
zx = 12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2x = xraizx^2+y^2,
zy = 12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2y = yraizx^2+y^2

Passo 3

Calcular zxx e zxy a partir de zx = x,(x^2+y^2)^-1/2.
Usando a regra do produto e a cadeia:
derivando em relação a x,
zxx = 1cdot(x^2+y^2)^-1/2 + xcdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot 2x = x^2+y^2 - x^2(x^2+y^2)^3/2 = y^2(x^2+y^2)^3/2,
derivando em relação a y,
zxy = xcdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot 2y = -x,y(x^2+y^2)^3/2

Passo 4

Calcular zyx e zyy a partir de zy = y,(x^2+y^2)^-1/2.
De forma análoga:
zyx = -x,y(x^2+y^2)^3/2 (igual a zxy),
zyy = x^2+y^2 - y^2(x^2+y^2)^3/2 = x^2(x^2+y^2)^3/2

Resposta

zx = xraizx^2+y^2, zy = yraizx^2+y^2,
zxx = y^2(x^2+y^2)^3/2, zxy = zyx = -x,y(x^2+y^2)^3/2, zyy = x^2(x^2+y^2)^3/2

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