Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=(x+1) e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
y'' - 4y' + 4y = (x + 1)e^x
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. A ideia é encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Para isso, vamos precisar entender sobre equações homogêneas, equações características e o método de coeficientes indeterminados para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 4y' + 4y = 0
Para resolver isso, usamos a equação característica, que é obtida substituindo y = e^rx na equação homogênea:
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática r^2 - 4r + 4 = 0, encontramos as raízes:
r = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2
Então, temos uma raiz real dupla r = 2.

Passo 4

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2 x)e^2x
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) da equação completa:
y'' - 4y' + 4y = (x + 1)e^x
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Observando o lado direito, vemos que é um polinômio multiplicado por e^x. Então, assumimos uma solução particular da forma:
yp(x) = e^x(Ax + B)
Onde A e B são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp(x):
Primeira derivada:
yp' = e^x(Ax + B) + e^xA = e^x(Ax + A + B)
Segunda derivada:
yp'' = e^x(Ax + A + B) + e^xA = e^x(Ax + 2A + B)

Passo 7

Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
e^x(Ax + 2A + B) - 4e^x(Ax + A + B) + 4e^x(Ax + B) = (x + 1)e^x
Simplificando os termos:
e^x[Ax + 2A + B - 4Ax - 4A - 4B + 4Ax + 4B] = (x + 1)e^x

Passo 8

Simplificando ainda mais:
e^x[Ax + 2A + B - 4Ax - 4A - 4B + 4Ax + 4B] = e^x[Ax + (2A - 4A) + (B - 4B + 4B)] = e^x[Ax - 2A + B] = (x + 1)e^x
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para x:
A = 1
Para o termo constante:
-2A + B = 1

Passo 9

Substituindo A = 1 na segunda equação:
-2(1) + B = 1 Rightarrow -2 + B = 1 Rightarrow B = 3
Então, os coeficientes são A = 1 e B = 3.

Passo 10

Com A e B encontrados, a solução particular é:
yp(x) = e^x(1 cdot x + 3) = (x + 3)e^x

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2 x)e^2x + (x + 3)e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x)e^2x + (x + 3)e^x

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