Determine a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. A ideia é encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Para isso, vamos precisar entender sobre equações homogêneas, equações características e o método de coeficientes indeterminados para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, usamos a equação característica, que é obtida substituindo
na equação homogênea:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos as raízes:
Então, temos uma raiz real dupla
.
Passo 4
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Observando o lado direito, vemos que é um polinômio multiplicado por
. Então, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 8
Simplificando ainda mais:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 9
Substituindo
na segunda equação:
Então, os coeficientes são
e
.
Passo 10
Com
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: