Encontrar as soluções por séries de potências e investigar as convergências
, com
R.
R.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em
, a equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
. Vamos usar o método das séries de potências para obter uma relação de recorrência para os coeficientes, depois reconhecer a soma da série e investigar o raio de convergência.
Passo 2
Suponha
Então
Além disso
. Substituindo na equação diferencial:
Passo 3
Reescrevendo todas as somas como potências de
:
O termo
afeta apenas o coeficiente de
. Igualando coeficientes para cada
:
Para
:
Para
:
onde
se
e zero caso contrário.
Passo 4
Usando
e a recorrência, vemos:
Reconhecemos que a parte homogênea gera a série de
e a correção de ordem 1 gera um polinômio de grau 1. Assim a soma da série é
para alguma constante
. Ajustando para valer a recorrência completa, encontra-se depois que a parte particular vale
.
Passo 5
Aplicando
em
dá
Logo a solução é
Passo 6
A série de
tem raio de convergência infinito, e o polinômio
converge para todo
. Portanto a solução em série de potências converge para todo
.
Resposta
com raio de convergência infinito.