Encontrar as soluções por séries de potências e investigar as convergências
y^prime-2 y-x+1=0, com y(1)=y0
R. y(x)=(y0+14) e^2(x-1)-12 x+14

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em x=1, a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 2y - x + 1 = 0
com condição inicial y(1)=y0. Vamos usar o método das séries de potências para obter uma relação de recorrência para os coeficientes, depois reconhecer a soma da série e investigar o raio de convergência.

Passo 2

Suponha
y(x)=sumn=0^inftyan,(x-1)^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,(x-1)^,n-1
Além disso x=(x-1)+1. Substituindo na equação diferencial:
sumn=1^inftyn,an,(x-1)^n-1 -2sumn=0^inftyan,(x-1)^n -l[(x-1)+1r]+1=0

Passo 3

Reescrevendo todas as somas como potências de (x-1)^k:
sumk=0^infty(k+1)ak+1,(x-1)^k -2sumk=0^inftyak,(x-1)^k -(x-1)=0
O termo -(x-1) afeta apenas o coeficiente de (x-1)^1. Igualando coeficientes para cada k>=0:
Para k=0:
1cdot a1-2a0=0 Longrightarrow a1=2a0
Para k>=1:
(k+1)ak+1-2ak-de<ak,1=0 Longrightarrow ak+1=2ak+de<ak,1k+1,
onde de<ak,1=1 se k=1 e zero caso contrário.

Passo 4

Usando y(1)=a0=y0 e a recorrência, vemos:
a1=2y0, a2=2a1+12=;2y0+tfrac12, a3=2a23=4y0+13,;dots
Reconhecemos que a parte homogênea gera a série de e^2(x-1) e a correção de ordem 1 gera um polinômio de grau 1. Assim a soma da série é
y(x)=C,e^2(x-1)-12(x-1)-14,
para alguma constante C. Ajustando para valer a recorrência completa, encontra-se depois que a parte particular vale -tfrac12x+tfrac14.

Passo 5

Aplicando y(1)=y0 em
y(x)=C,e^2(x-1)-12x+14
y0=C,e^0-12cdot1+14 Longrightarrow C=y0+14
Logo a solução é
y(x)=l(y0+tfrac14r),e^2(x-1)-12,x+14

Passo 6

A série de e^2(x-1) tem raio de convergência infinito, e o polinômio -tfrac12x+tfrac14 converge para todo x. Portanto a solução em série de potências converge para todo xinR.

Resposta

y(x)=l(y0+tfrac14r)e^2(x-1)-tfrac12,x+tfrac14,
com raio de convergência infinito.

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