Determine a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
que é uma equação de Cauchy–Euler não homogênea com termo fonte
.
Para resolver, precisamos:
Para resolver, precisamos:
- Resolver a equação homogênea associada (tipo Cauchy–Euler).
- Encontrar uma solução particular usando variação de parâmetros ou método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
fazemos o ansatz
. Substituindo, vem
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Vamos agora buscar uma particular
por variação de parâmetros. Usamos
e montamos o Wronskiano
Na forma padrão
temos
Integramos:
A solução particular é
Resposta
A solução geral é