Determine a solução geral das equações diferenciais:
x^2 y^prime prime-3 y^prime+3 y=2 x^4 e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x^2y''-3x,y'+3y=2x^4e^x,
que é uma equação de Cauchy–Euler não homogênea com termo fonte 2x^4e^x.
Para resolver, precisamos:
  1. Resolver a equação homogênea associada (tipo Cauchy–Euler).
  2. Encontrar uma solução particular usando variação de parâmetros ou método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
x^2y''-3x,y'+3y=0,
fazemos o ansatz y=x^m. Substituindo, vem
m(m-1)x^m-3m,x^m+3x^m=0 Longrightarrow m^2-4m+3=0 Longrightarrow m=1,3
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1x+C2x^3

Passo 3

Vamos agora buscar uma particular yp por variação de parâmetros. Usamos
y1=x, y2=x^3,
e montamos o Wronskiano
W= x & x^3 1 & 3x^2 =2x^3
Na forma padrão
y''-3xy'+3x^2y =2x^2e^x,
temos
u1'=-y2,(2x^2e^x)W =-x^3,2x^2e^x2x^3 =-x^2e^x, u2'=y1,(2x^2e^x)W =x,2x^2e^x2x^3 =e^x
Integramos:
u1(x)=-integral x^2e^xdx =-(x^2-2x+2)e^x, u2(x)=integral e^xdx=e^x
A solução particular é
yp=u1y1+u2y2 =-x,(x^2-2x+2)e^x+x^3e^x =2x(x-1)e^x

Resposta

A solução geral é
boxed y(x)=C1x+C2x^3+2x(x-1)e^x

Exercícios relacionados