Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime-9 y=e^t, y^prime(0)=0, y(0)=0

Passo 1

O problema é resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 9,y = e^t
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
Vamos usar o método de coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular, em seguida aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
yh'' - 9,yh = 0
A equação característica é
r^2 - 9 = 0
cuja solução é r = 3 ou r = -3.
Logo
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-3t

Passo 3

Para a solução particular yp, como o termo de força é e^t e 1 não é raiz da característica, tentamos
yp(t) = A e^t
Então
yp'' - 9,yp = A e^t - 9A e^t = (A - 9A)e^t = -8A,e^t
deve ser igual a e^t. Assim
-8A = 1 Longrightarrow A = -tfrac18
Portanto
yp(t) = -tfrac18,e^t

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-3t - tfrac18,e^t

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais:
  1. y(0)=0
C1 + C2 - tfrac18 = 0 Longrightarrow C1 + C2 = tfrac18
  1. Calculamos
y'(t) = 3C1 e^3t - 3C2 e^-3t - tfrac18,e^t,
logo y'(0)=0 leva a
3C1 - 3C2 - tfrac18 = 0 Longrightarrow 3,(C1 - C2) = tfrac18 Longrightarrow C1 - C2 = tfrac124
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac18, C1 - C2 = tfrac124,
temos
2C1 = tfrac18 + tfrac124 = tfrac424 ;Longrightarrow; C1 = tfrac112, C2 = tfrac124

Resposta

y(t) = 112,e^3t + 124,e^-3t ;-; 18,e^t

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